> f(x) = x3 - 2x - 9/4 = 0
Newtonverfahren:
Berechnen der Nullstellen von f(x) (f muss differenzierbar sein)
Ausgehend von einem (möglichst guten) Startwert, den man z.B zwischen zwei x-Werten findet, deren Funktionswerte verschiedenes Vorzeichen haben, findet man - auch mit einem einfachen Taschenrechner - immer bessere Werte mit der Formel
xneu = xalt - f(xalt) / f ' (xalt)
Du weißt allerdings i.A. nicht, ob du alle NS gefunden hast. (Hier gibt es nur eine. Das erkennt man daran, dass beide Extrempunkte negative Funktionswerte haben. )
Manchmal konvergiert das Verfahren nicht (wenn du für xalt zum Beispiel eine Extremstelle erwischt). Dann hilft oft ein anderer Startwert.
Je besser der Startwert, desto weniger Rechnung:
mit Startwert x = 1
x | f(x) | f '(x) |
1 | -3,25 | 1 |
4,25 | 66,015625 | 52,1875 |
2,98502994 | 18,37776207 | 24,73121123 |
2,24192998 | 4,534640684 | 13,07875011 |
1,895211781 | 0,766850602 | 8,775483086 |
1,80782621 | 0,042749568 | 7,804706816 |
1,802348801 | 0,000162551 | 7,745383606 |
1,802327815 | 2,3815E-09 | 7,745156654 |
1,802327814 | 0 | 7,74515665 |
Alle Werte in der Tabelle sind natürlich Näherungswerte.
Gruß Wolfgang