Lösbarkeit lineares Gleichungssystem

Question

folgende Aufgabe wurde mir gestellt:

Matrix A mit 3x3 mit dem Rang 3.

Gibt es einen Vektor b, sodass das Gleichungssystem Ax=b keine Lösung besitzt? Falls ja nennen Sie einen solchen.

Da die Matrix einen Rang von 3 hat ( 3 unabhängige Spalten und Zeilen) kann ich dann einfach den Vektor b so bestimmen, dass er ein vielfaches einer Spalte ist? 

Answer 1

Hallo JG,

eine solche Matrix (mit erweiterter Matrix A|b )  kannst du mit dem Gaußalgorithmus immer auf Dreiecksform ohne Nullzeilen bringen. 

Dann kannst du  die Koordinaten des Lösungsvektors von Ax=b eindeutig bestimmen.

Es gibt also immer genau einen Lösungsvektor. 

> Da die Matrix einen Rang von 3 hat ( 3 unabhängige Spalten und Zeilen) kann ich dann einfach den Vektor b so bestimmen, dass er ein vielfaches einer Spalte ist? 

So einfach geht es leider nicht :-) 

Gruß Wolfgang

Comments

Aber wenn der Rang der Matrix nicht gleich dem Rang der erweiterten Matrix ist gibt es doch keine Lösung? 

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Wenn die 3x3-Matrix A den Rang 3 hat, kann das nicht sein.

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Und wie lautet die Lösung der Aufgabe jetzt?

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> Und wie lautet die Lösung der Aufgabe jetzt?

Von welcher Aufgabe sprichst du?  

Du hast Fragen gestellt und die sind alle beantwortet:

Nein, einen solchen Vektor b gibt es nicht.

Nein, du kannst keinen Vektor b "einfach so bestimmen".

Answer 2

Spoiler Alert: es gibt so einen Vektor b nicht.

> kann ich dann einfach den Vektor b so bestimmen, dass er ein vielfaches einer Spalte ist?

Nein. Dadurch hast du nämlich nicht gezeigt, dass es einen solchen Vektor b nicht gibt.

Comments

Verstehe ich nicht.

Wie ist dann die Lösung dieser Aufgabe?

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Die Lösung ist "Es gibt keinen Vektor b, sodass das Gleichungssystem Ax=b keine Lösung besitzt".

Wegen Rang 3 der 3×3-Matrix kann die Matrix durch elementare Zeilenumformungen in die 3×3-Einheitsmatrix überführt werden. Führt man die gleichen elementaren Zeilenumformungen auf dem Vektor b durch, dann bekommt man eine Lösung des Gleichungssystems.