LGS (I) (a-b)x+ay=a+b; (II) ax+(a+b)y=a+2b

Question

EDIT: Kopie aus Duplikat: gibt es echt eine möglichkeit, diese aufgabe leichter zu lösen? und aus Kommentar: ja, a und b sind parameter und sonderfälle werden nicht beachtet

wie löse ich diese lineare funktion? (a-b)x+ay=a+b; ax+(a+b)y=a+2b

Ich habe schon versucht, die Aufgabe mit dem Einsetzverfahren und Additionsverfahren zu lösen. Grundsätzlich habe ich das glaube auch verstanden, jedoch war die Lösung bei beiden Varianten immernoch sehr kompliziert. Im Buch ist (-1|2) angegeben.

Ich wäre sehr froh, wenn man mir den Lösungsweg erklären könnte.

(a-b)x+ay=a+b

ax+(a+b)y=a+2b

vielen dank:)

Comments

ja, a und b sind parameter und sonderfälle werden nicht beachtet

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@Mathecoach: Nur fast gleiche Frage. Das war nicht die gleiche Aufgabe. Zumindest enthielt sie einen Druckfehler, der dazu führte, dass (I) keine lineare Gleichung mehr war. Alle drei Antworten dort gehen auf x^2 ein. Frage unter https://www.mathelounge.de/445313 ist anders! 

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Aha. Dann solltest du in der Antwort von Mathecoach finden, was du zu rechnen hast. 

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Vom Duplikat:

Titel: (i) (a-b)x+ay=a+b (ii)ax+(a+b)y=a+2b

Stichworte: gleichungssystem,lineare,gleichung

das system wird auf x/y aufgelöst

(i) (a-b)x+ay=a+b 

(ii)ax+(a+b)y=a+2b

ich kam auch bereits schon auf die richtige lösung, aber sowohl mit dem einsetz-, als auch mit dem additionsverfahren war mein lösungsweg sehr kompliziert und ich machte viele kleine fehler

gibt es echt eine möglichkeit, diese aufgabe leichter zu lösen?

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"das system wird auf x/y aufgelöst " 

Heisst das, dass du x/y bestimmen sollst und weder x noch y allein brauchst? 

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Das soll hier wahrscheinlich ein Trennstrich sein, x und y sind die gesuchten Variablen und

a,b sind  Parameter.

Answer 1

(a - b)x + ay = a + b
a(a - b)x + a^2 y = a^2 + ab

ax + (a + b)y = a + 2b
a(a - b)x + (a + b)(a - b)y = (a + 2b)(a - b)
a(a - b)x + (a^2 - b^2)y = a^2 + ab - 2·b^2

I - II

b^2·y = 2·b^2
y = 2

Nun y einsetzen und noch x ausrechnen

(a - b)x + a*2 = a + b
(a - b)x = b - a
x = (b - a) / ((a - b)) = -1

Du solltest jetzt noch die Sonderfälle untersuchen.

z.B. a = b = 0

Answer 2

(a-b)x+ay=a+b
ax+(a+b)y=a+2b

ax - bx + ay = a + b
ax + ay + by = a + 2b

# (Dies ergibt durch Subtraktion (2)-(1) bx + by = b   ⇔   x + y = 1   ∧   b ≠ 0)

a * (x + y) - bx = a + b
a * (x + y) + by = a + 2b

Verwenden von #:
a - bx = a + b
a + by = a + 2b

x = -1
y = 2
b ≠ 0

Für b=0 sind die Gleichungen identisch.

PS: Hinweis auf Subtraktion nachgetragen.