Sei f eine orthogonal Bilinearform auf V . Weiter sei v0∈V mit der Eigenschaft f(v0,v0)≠0K und es sei α∶=sv0 eine Spiegelung.
(a) Zeigen Sie, dass V0∶=⟨v0⟩K ein α-invarianter Teilraum ist und dass vα 0=−v0 ist.
(b) Zeigen Sie weiter, dass jeder Vektor aus V⊥ 0 (Senkrechtraum bezüglich f) von α auf sich selbst abgebildet wird!
(c) Zeigen Sie, dass α eine Isometrie von(V,f) nach(V,f) ist!
(d) Betrachten Sie den Spezialfall, dass K=R ist, V=R3 und f das Standardskalarprodukt. Erklären Sie, warum α dann tatsächlich anschaulich eine Spiegelung ist!
(Spiegelung : Sei f eine orthogonale Bilinearform auf V. Sei v0∈V so, dass f(v0,v0)≠0K ist. Die Spieglung sv0 sei wie folgt definiert:
Für alle v∈V sei vδv0 := v+((-1k+(-1K))f(v,v0)f(v0,v)-1)v0
