Spezielle Matrizen Orthogonalität und Bilinearform

Question

Aufgabe:

a) Für welche α ∈ C ist die komplexe Matrix
  a    1/2

1/2    a

unitär?

b) Seien n ∈ N und U, V ∈ R^n×n orthogonal. Welche der folgenden Aussagen sind
wahr? Beweisen Sie Ihre Antwort, wenn möglich mit Gegenbeispielen.

1) U ist symmetrisch.

2) Rang(U) = n.

 3) U V^ T
ist orthogonal.

c) Sei E2 die kanonische Basis des R^2
 Zeigen Sie, dass die Bilinearform b : R^2×R^2 → R durch Matrixdarstellung

Mb^E2:

2  3

4  9

positiv definit ist.

Answer 1

Für welche α ∈ C ist die komplexe Matrix    M =
  a    1/2

1/2    a

unitär?

Sei a= x+iy .Bilde erstmal die adjungierte M^H =

x-iy     1/2
1/2      x-iy

und dann das Produkt  M * M^H  =

x^2 + y^2 +1/4           x
        x                  x^2 + y^2 + 1/4

und das ist die Einheitsmatrix, wenn x=0

und y^2 = 3/4   ist.

Also gibt es nur die beiden Fälle

a= ±i*(√3 ) / 2