Grenzwert Frage mit natürlichem Logarithmus und e-Funktion

Question

ich habe eine kurze Verständnisfrage: Lieg ich da richtig, dass im Nenner -e bei der Betrachtung uninteressant ist und man somit ln(unendlich)/ln(unendlich) hat und das bei gleichem Nenner und Zähler dann 1 ergibt?

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Tipp:

LN(|x-e|)=LN(x|1-e/x|)

=LN(x)+LN(|1-e/x|)

für x>0

Answer 1

Theoretisch schon Trotzdem untersucht man das

lim (x --> ∞) LN(x) / LN(x - c)

L'Hospital

lim (x --> ∞) (1/x) / (1/(x - c))

lim (x --> ∞) (x - c) / x

lim (x --> ∞) (1 - c/x) / 1 = (1 - 0) / 1 = 1

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Danke für die Antworten. Bei mir ist l'Hospital aber nicht erlaubt. Kann ich das auch anders untersuchen bzw. zeigen, dass es 1 ist? So auf einem normalen weg. Danke :)

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lim (x --> ∞) LN(x) / LN(x - c)

lim (x --> ∞) LN(x) / LN(x * (1 - c/x))

lim (x --> ∞) LN(x) / (LN(x) + LN(1 - c/x))  

lim (x --> ∞) 1 / (1 + LN(1 - c/x)/LN(x)) 

lim (x --> ∞) 1 / (1 + 0)  = 1

Korrigiert nach einem Kommentar von Gast hj2166

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Selbstgemachte Regeln gehen doch immer noch am einfachsten.

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Was darf ich daran nicht machen ?

Hätte ich erst durch LN(x) kürzen müssen? Würde aber aufs gleiche rauslaufen oder nicht?

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Deine Methode :

lim (x --> ∞)  [ √x · (√(x+1) - √x) ]

lim (x --> ∞)  [ √x ·(√(x·(1+1/x)) - √x ) ]

lim (x --> ∞)  [ √x · (√x·√(1+1/x) - √x ) ]

lim (x --> ∞)  [ √x · (√x ·√1 - √x ) ]

lim (x --> ∞)  [ √x · (√x - √x) ]

lim (x --> ∞)  [ √x ·0 ]

lim (x --> ∞)  [ 0 ]  =  0

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Du bildest den Grenzwert eines Faktors, wobei der andere Faktor noch gegen unendlich geht. Das ist gefährlich. ∞ * (1 + 0) = ∞ + ∞ * h. Das Problem wenn h gegen 0 geht ist das der Grenzwert ∞ * 0 nicht definiert ist. Der Grenzwert ∞ + 0 ist hingegen definiert. Das ist unendlich.

Spricht etwas dagegen

lim (x --> ∞) LN(x) / (LN(x) + LN(1 - c/x)) 

lim (x --> ∞) 1 / (1 + LN(1 - c/x)/LN(x)) 

lim (x --> ∞) 1 / (1 + 0)

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Jetzt führst du ja nicht mehr den Grenzübergang x ->∞ in einem Teilterm aus während x an anderen Stellen noch stehen blieb. Das ist es was ich mit "selbstgemachter Regel" bezeichnet habe.

Answer 2

> Lieg ich da richtig, dass im Nenner -e bei der Betrachtung uninteressant ist

Ja.

> man somit ln(unendlich)/ln(unendlich)

ln(unendlich) ist nicht definiert.

Und auch wenn du lim_x→∞ ln(|x|) anstatt ln(unendlich) gechriebne hättest, also

        (lim_x→∞ ln(|x|)) / (lim_x→∞ ln(|x|)) = ∞/∞ = 1

würdest du Probleme bekommen. Es ist zwar lim_x→∞ ln(|x|) = ∞, aber ∞/∞ ist ebenfalls nicht definiert.

Verwende stattdessen die Regel von de l'Hospital.

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Danke für die Antworten. Bei mir ist l'Hospital aber nicht erlaubt. Kann ich das auch anders untersuchen bzw. zeigen, dass es 1 ist? So auf einem normalen weg. Danke :)