Aloha :)
$$\int\underbrace{2x}_{=u'}\cdot\underbrace{\ln(x+3)}_{=v}\,dx$$$$=\underbrace{x^2}_{u}\cdot\underbrace{\ln(x+3)}_{=v}-\int\underbrace{x^2}_{u}\cdot\underbrace{\frac{1}{x+3}}_{=v'}\,dx$$$$=x^2\ln(x+3)-\int\frac{x^2-9+9}{x+3}\,dx$$$$=x^2\ln(x+3)-\int\left(\frac{x^2-9}{x+3}+\frac{9}{x+3}\right)\,dx$$$$=x^2\ln(x+3)-\int\left(\frac{(x-3)(x+3)}{(x+3)}+\frac{9}{x+3}\right)\,dx$$$$=x^2\ln(x+3)-\int\left(x-3+\frac{9}{x+3}\right)\,dx$$Oben hatten wir bereits \(v=\ln(x+3)\) gesetzt und zu \(v'=\frac{1}{x+3}\) abgeleitet. Daher ist klar, dass \(\frac{1}{x+3}\) integriert wieder \(\ln(x+3)\) ergibt. Das spart uns die Substitution.$$=x^2\ln(x+3)-\left[\frac{x^2}{2}-3x+9\ln(x+3)\right]+\text{const.}$$$$=(x^2-9)\ln(x+3)-\frac{x^2}{2}+3x+\text{const.}$$
