Mathematisch "nicht ganz korrekt", schließe ich aus dem Fehlen von irgendwelchen Maßangaben in der Aufgabenstellung, dass der zu berechnende Prozentsatz bei jedem konvexen Viereck gleich ist.
Das nutze ich aus, indem ich ein Viereck betrachte, bei dem die benötigten Größen besonders einfach zu berechnen sind, nämlich ein Quadrat.
Sei a die Seitenlänge des Quadrates.
Dann hat es den Flächeninhalt
Agross = a ²
Die Diagonalen dieses Quadrates haben dann die Länge
d = a * √ 2
Sie teilen das Quadrat in 4 kongruente, rechtwinklige, gleichschenklige Dreiecke auf, deren Hypotenusen (Basen)jeweils die Seiten des Quadrates sind. Da in einem gleichschenkligen Dreieck die Höhe über der Basis identisch mit der Seitenhalbierenden der Basis ist, ist also durch die Höhe h bereits eine der Seitenhalbierenden gegeben. Die Länge h der Höhe über der Basis ist hier gerade gleich der halben Seitenlänge des gegebenen Quadrates, also
h = a / 2
Dies ist wegen der Identität von Höhe und Seitenhalbierender auch die Länge der Seitenhalbierenden der Hypotenuse.
Bedenkt man nun, dass der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden eines jeden Dreiecks diese im Verhältnis 1 : 2 teilt, dann kann man berechnen, dass der Schwerpunkt der vier Dreiecke, in die das Quadrat geteilt wird, sich jeweils auf der Höhe über der Hypotenuse und im Abstand von a / 3 vom Mittelpunkt des Quadrates befindet.
Da die Höhen der vier Dreiecke im Mittelpunkt des Quadrates rechtwinklig aufeinander stehen, sind auch die Dreiecke, die sich dem Mittelpunkt und je zwei benachbarten Schwerpunkten gebildet werden, rechtwinklige Dreiecke. Aus Symmetriegründen sind sie sogar gleichschenklig. Ihre Katheten sind gerade die Strecken zwischen einem der Schwerpunkte und dem Mittelpunkt des großen Quadrates und somit (siehe vorheriger Absatz) a / 3 Einheiten lang. Ihre Hypotenusen sind gerade die Verbindungsstrecken zwischen je zwei benachbarten Schwerpunkten und somit die Seitenlängen des kleinen Vierecks. Dieses Viereck ist aus Symmetriegründen ebenfalls ein Quadrat.
Mit Hilfe des Satzes des Pythagoras kann man nun den Abstand D zweier benachbarter Schwerpunkte berechnen, denn es muss gelten:
D ² = 2 * ( a / 3 ) ²
<=> D = a * √ 2 / 3
Dies ist die Seitenlänge des kleinen Vierecks, welches ja ein Quadrat ist. Das kleine Viereck hat also den Flächeninhalt
Aklein = D ² = ( 2 / 9 ) a ²
Für das Verhältnis V von kleinem zu großem Viereck (Quadrat) gilt also:
V = Aklein / Agross = ( 2 / 9 ) a ² / a ² = 2 / 9 = 0,222... = 22,222... %
Wie einleitend bemerkt, kann man davon ausgehen, dass dieses Verhältnis unabhängig von den Seitenlängen auch bei anderen konvexen Vierecken als einem Quadrat gilt. Andernfalls würde die Frage ohne Angabe von Maßen nicht lösbar sein.
