Partialbruchzerlegung 1/(x^3+x)?

Question

ich möchte folgenden Term integrieren mithilfe der PBZ:

∫1/(x^3+x)

Was ich noch wüsste, ist den Term erstmal zu faktorisieren, in -> 1/(x(x^2+1)) dann ist aber auch schon schluss.

Jetzt müsste man ja eigentlich die Nullstellen bestimmen und dann die Partialbrüche aufschreiben mit A/irgendwas + B/irgendwas + C/irgendwas, aber da weiß ich leider nicht weiter.

Answer 1

1 / (x^3 + x)

1 / (x * (x^2 + 1))

Ansatz

1 / (x^3 + x) = a / x + (b * x + c) / (x^2 + 1)

Mit Hauptnenner Multiplizieren

1 = a * (x^2 + 1) + (b * x + c) * x

x = 0 --> a = 1

x = 1 --> 1 = 2·a + b + c

x = 2 --> 1 = 5·a + 2·(2·b + c)

Löse das Gleichungssystem und erhalte: a = 1 ∧ b = -1 ∧ c = 0

1 / (x^3 + x) = 1 / x + (-x) / (x^2 + 1) = 1 / x - x / (x^2 + 1)

Comments

danke für die Rechnung. Leider konnte ich immer noch nicht nachvollziehen weshalb wir ein b*x+c im Zähler haben, denn bisher hatte ich immer nur konstante ohne x in der PBZ.

Anhand dieses Videos( bei 3:45 Min): https://youtu.be/RtT2wtx73gM?t=3m48s konnte ich nun besser nachvollziehen, weshalb ein x mit im Zähler steht und dies sollte ja auch bei dem hier vorgeführten Beispielterm der Fall sein richtig?

---

Wie ist dein Ansatz für 1 / (x - 1)^2 bei einer Partialbruchzerlegung ?

Ach ich sehe schon das Jörn das sehr gut gut vorgemacht hat. Ja das ist bei dir exakt genau so.

Einen Quadratischen Term im Nenner kann ich zerlegen über den Ansatz.

1 / (x - 1)^2 = A / (x - 1) + B / (x - 1)^2

Bringe ich die Rechte Seite auf einen Hauptnenner

1 / (x - 1)^2 = A (x - 1) / (x - 1)^2 + B / (x - 1)^2

1 / (x - 1)^2 = (Ax - A + B) / (x - 1)^2

Und auch dort könntest du also den Ansatz

1 / (x - 1)^2 = (Ax + B) / (x - 1)^2

nehmen. Nur wird das eben meist noch aufgeteilt weil es geht. Wenn du den Nenner allerdings nicht mehr zerlegen kann, dann lässt man ihn so und nimmt im Zähler dafür einen linearen Ansatz.

---

Nun da würde ich sagen bei 1/(x-1)^2 ist mein Ansatz:

A/(x-1)+B/(x-1)^2

---

Ich habe meine Antwort oben noch erweitert.

Answer 2

Ansatz A/x+(Bx+C)/(x²+1) Addieren (mit Hauptnenner) Dann ist A=1, B=1 und C=0. Also 1/x-x/(x²+1).

Comments

Das in den Konstanten im Zähler (A, B, C und so weiter) ein x steht sehe ich so zum ersten Mal und das verwirrt mich etwas. Vielleicht könnte man mit den Nullstellen anfangen, die zu bestimmen hat mir nämlich auch Probleme bereitet.

Wenn ich den Term x^3+x faktorisiere, bekomme ich ja x(x^2+1). Also ist doch eine Nullstelle schonmal x = 0 und die andere ist eine doppelte Nullstelle, da x^2=-1 richtig?

Und wenn man jetzt aus x^2 die Wurzel zieht würde man ja auch aus -1 die Wurzel ziehen und somit im Bereich der komplexen Zahl sein, aber das kommt ja nicht hin oder? Irgendwo muss ich mich da vertan haben.

---

Vielleicht könnte man mit den Nullstellen (des Nenners) anfangen, die zu bestimmen hat mir nämlich auch Probleme bereitet.

Wenn ich den Term x³+x faktorisiere, bekomme ich ja x(x²+1). Also ist doch eine Nullstelle schonmal x = 0 und die andere ist eine doppelte Nullstelle, da x²=-1 richtig? Richtig

Und wenn man jetzt aus x² die Wurzel zieht würde man ja auch aus -1 die Wurzel ziehen und somit im Bereich der komplexen Zahl sein, aber das kommt ja nicht hin oder? (Warum denn nicht?) Irgendwo muss ich mich da vertan haben.

Der Faktor x²+1 ist im Reellen unzerlegbar und bleibt bei einer rationalen Partialbruchzerlegung so stehen. Also heißen die Nenner der Partialbruchzelegung x und x²+1. Die Zähler müssen mindestens um einen Grad kleiner sein, als die Nenner. Damit muss man für den Nenner x²+1 von einem Zähler Bx+C ausgehen.