Zweite Ableitung berechnen

Question

Ich habe eine Frage zur zweiten Ableitung einer Funktion, die lautet: ln ( 1+ (x-1)^2)

Die erste Ableitung habe ich berechnet : (2*x -2) / (1+(x+1)^2)

Um die zweite Ableitung zu berechnen, nehme ich die Quotientenregel, allerdings habe ich Probleme mit dem zusammenfassen:

Gekommen bin ich also so weit:

2*(1+(x-1)^2) - 2*(x-1)*(2x-2) / (1+(x-1)^2)^2

Bis hierhin müsste das ja richtig sein, aber wie kann ich das noch zusammenfassen?

Die Musterlösung lautet : 2* (1-(x-1)^2) / (x-1)^2+^)^2

Konkret verstehe ich auch nicht wieso in der Lösung ausmultipliziert im Nenner steht : 2 - 2*(x-1)^2 ?

Sind 2* (x-1) * 2* (x-1) nicht 4*(x-1)^2 ?

Danke schon mal für jegliche Hilfe!

Answer 1

Deine zweite Ableitung ist richtig!

Um diese zusammenzufassen machen wir folgendes: $$\frac{2\cdot (1+(x-1)^2)-2\cdot (x-1)\cdot (2x-2)}{(1+(x-1)^2)^2} \\ =2\cdot \frac{1+(x-1)^2-(x-1)\cdot (2x-2)}{(1+(x-1)^2)^2} \\ =2\cdot \frac{1+(x-1)^2-(x-1)\cdot 2\cdot (x-1)}{(1+(x-1)^2)^2} \\ =2\cdot \frac{1+(x-1)^2-2\cdot (x-1)^2}{(1+(x-1)^2)^2} \\ =2\cdot \frac{1-(x-1)^2}{(1+(x-1)^2)^2}$$

Answer 2