Hallo MathFox,
Ich gehe davon aus, dass Du \(20\) Würfel hast und \(X_1, X_2, ..., X_{20}\) die Anzahl der geworfenen Sechser für den jeweiligen Würfel beschreibt. \(P(X\geq 15)\) berechnest Du am besten über das Gegenereignis \(1-P(X_i\leq 14)\) mit \(1\leq i\leq 20\). Wichtig ist, dass Du alle Würfel berücksichtigst! Nehmen wir an, dass die Würfel unabhängig voneinander sind, so erhältst Du für einen beliebigen Würfel \(j\) das Gegenereignis durch \(1-P(X_j\leq 14)^{20}\). Wir berechnen mit \(p=\dfrac{1}{6}\) und z.B. \(j=1\) die Wahrscheinlichkeit für \(P(X_1\leq 14)\) durch Annäherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung. Sei dazu \(X_1^*\) die Standardisierte. Es ist $$EX=50\cdot \dfrac{1}{6}\approx 8.33\\\sigma=\sqrt{Var(X)}=\sqrt{50\cdot\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{5}{6}}\approx 2.635\\ P\left(X_1^*\leq \dfrac{x-\mu+0.5}{\sigma}\right)=P\left(X_1^*\leq \dfrac{14-8.33+0.5}{2.635}\right)=P(X_1^*\leq 2.34)=\Phi(2.34)=0.9904$$ Dass dieses Ergebnis so hoch ist, sollte nicht verwundern, denn die Wahrscheinlichkeit, dass wir bei \(50\) Würfen mit einem nicht gezinkten Würfel bei unter \(15\) Sechsern bleiben ist sehr hoch. DIes setzen wir nun ein und erhalten: $$P(\text{Fehler 1. Art})=1-P(X_i\leq 14)^{20}= 1-0.9904^{20}\approx 0.175$$ Wie Du siehst, ist das bereits Dein Fehler 1. Art, d.h. die Nullhypothse \(H_0\) wird verworfen, obwohl sie stimmt. Und das ist genau dann der Fall, wenn \(X\) im kritischen Bereich landet.
Für den Fehler 2. Art gehen wir auf \(H_0\), obwohl \(H_1\) stimmt, was als nicht so schlimm wie ein Fehler 1. Art angesehen wird. Es liegt also ein gefälschter Würfel mit der Wahrscheinlichkeit \(p=0.25\) für einen Sechser vor. Die restlichen \(19\) Würfel sind also in Ordnung. Die Frage ist nun, wie hoch die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass wir nicht im kritischen Bereich landen, wenngleich ein Würfel gefälscht ist. Gesucht ist also $$P(X\leq 14)=P_{p=0.167}(X\leq 14)^{19}\cdot P_{p=0.25}(X\leq 14)^1$$
\(P_{p=0.167}(X\leq 14)\) kennen wir ja bereits. Fehlt noch \(P_{p=0.25}(X\leq 14)\). Dies berechnen wir analog durch eine Annäherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung. Es ist $$EX=50\cdot 0.25 = 12.5\\\sigma = \sqrt{Var(X)}=\sqrt{50\cdot 0.25\cdot 0.75}\approx3.06\\ P\left(X_1^*\leq \dfrac{14-12.5+0.5}{3.06}\right)=P(X_1^*\leq 0.65)=\Phi(0.65)=0.74215$$
Durch Einsetzen der Ergebnisse erhalten wir $$P(\text{Fehler 2. Art})=0.9904^{19}\cdot 0.74215^1 \approx 0.618$$
Hilft Dir die Antwort weiter?
André
