Extremwertaufgaben mehrdimensional. f(x,y) = (x - 2y^2 + 3)(x-5)

Question

Hallo könnte mir jemand erklärend folgende Aufgaben vorrechnen ?

Answer 1

a)

f(x, y) = (x - 2·y^2 + 3)·(x - 5)

f'(x, y) = [2·x - 2·y^2 - 2, 4·y·(5 - x)] = [0, 0] --> (x = 5 ∧ y = -2) ∨ (x = 5 ∧ y = 2) ∨ (x = 1 ∧ y = 0)

Noch keine Untersuchung mit der Hesse-Matrix. Dies müsste noch gemacht werden. Das überlasse ich dir. Hier noch die Matrix.

f''(x, y) = [2, - 4·y; - 4·y, 4·(5 - x)]

b) 

(x - 5)·(x - 2·y^2 + 3) > 0

c)

Zeichne die Punkte oben ein. Begründe jetzt wie man eventuell Extrem und Sattelpunkte erkennen kann.

Comments

Ich verstehe nicht wie man auf diese zeichnung kommt

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(x - 5)·(x - 2·y² + 3) > 0

Die Klammern müssen entweder beide positiv oder beide negativ sein

Ich übernehme das mal für beide Klammern positiv. Du machst es dann für beide Klammern negativ.

x - 5 > 0 --> x > 5

x - 2·y² + 3 > 0

x + 3 > 2·y²

^{-√((x + 3)/2) < y < √((x + 3)/2)}

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Für beide klammern negativ:

x < 5

-√((x + 3)/2) > y > √((x + 3)/2)

Wäre das so richtig? Und wie muss ich nun die Skizze machen?

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-√((x + 3)/2) > y > √((x + 3)/2) so darfst du das sicher nicht aufschreiben. Hier musst du tatsächlich 2 Ausdrücke notieren.

Vermutlich tauschen sich nur die Farben in der Skizze aus oder was denkst du was dort passieren sollte?

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-√((x + 3)/2) > y  und y> √((x + 3)/2) und x<5

Wäre das so korrekt?

Also steht die farbige fläche für das pos. Gebiet und die weiße Fläche für das neg Gebiet?

1,0 ist eine Tiefstelle, da ein Vzw stattfindet

Und die beiden anderen Punkte sind Sattelpunkte, da dort kein Vzw ist. Wäre das so richtig bzw. ausreichend?

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Du hast die Art der Stellen richtig erkannt. Aber du solltest ja die Art anhand der Skizze beurteilen und sagen waran man das erkennen könnte und auf eventuell Probleme eingehen.

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Leider habe ich überhaupt keine Ahnung, wie ich das machen soll..

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An einer Stelle wo sich weiße und gefärbte Teile anschließen kann kein Extrempunkt sein. Warum nicht?

Wie ist das mit der Stelle in dem weißen Bereich. Warum kann dort ein Extremum liegen und warum nicht.

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Zu 1.) Da würde eine Nullstelle liegen.

Zu 2.) Weil dort ein Vzw stattfindet und weiter weiß ich nicht..

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Nullstelle ist richtig. Kann dort also ein Extremem liegen oder nur ein Sattelpunkt?

2) Wenn es zu allen seiten in blaue Gebiete geht dann liegt doch die Vermutung für ein Minimum nahe oder? Zumal es die einzige Stelle in diesem weißen Gebiet ist.

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Und warum kann dort keine maximum vorliegen und was sind die probleme einer solchen skizze?