Hom(U,Hom(V,W))∼= Hom(V,Hom(U,W))

Question

  ich habe eine Frage, und zwar

ist Hom(U, Hom(V,W))≅Hom(V,Hom(U,W)) das Gleich wie

Hom(U,Hom(V,W))=Hom(U⊗ V,W)?

Answer 1

Auch in der zweiten Gleichung muss es wohl heißen "isomorph"

statt "gleich".

Kann schon sein, dass beides stimmt, dann sind die beiden rechten

natürlich auch zueinander isomorph, das könnte auch stimmen,

wenn U und V und W geeignete Vektorräume sind.

Comments

Und von den Dimensionen her ( falls alle endlich dimensional )

stimmt es wohl auch.

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Danke für die Antwort :)

Meine eigentliche Aufgabe ist:

Sei K ein Körper und seien U, V, W endlich-dimensionale K-Vektorraäume. Zeigen Sie:”Hom(U,Hom(V,W))=Hom(U⊗ V,W)“. Genauer: Zeigen Sie, dass man diese Vektorräume miteinenander identifizieren kann

Dachte meine Frage würde mich weiter bringen, aber komme mit der Aufgabe gar nicht zurecht.

Könntest du vielleicht helfen ? :)

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Identifizieren kann man die immer dann, wenn sie zueinander

isomorph sind.

Um das zu zeigen musst du einen Isomorphismus konstruieren und

nachweisen, dass es einer ist, also ein bijektiver Homomorphismus .

Ein Element aus Hom(U,Hom(V,W)) ist ja ein f : U ---> Hom(V,W)

also eine Abbildung, die jedem Element von U einen Homomorphismus von V nach W

zuordnet.

Bei Hom(U⊗ V,W) hat man Abbildungen g , die jeder Summe u+v ein w aus W

zuordnen. 

Vielleicht ist es ja einfacher in der anderen Richtung: Wenn man ein g : U⊗ V --->  W

hat , dann könnte man das f vielleicht so definieren :  Für alle u aus U

ist f(u) die Abbildung definiert durch  f(u) :  V ---- >  W   mit f(u) (v) = g (u+v) .

Die Hom-Eigenschaft kann man dann wohl aus der von g herleiten und

die Injektivität wohl aus Kern = 0 .