Zeigen, dass das Tensorprodukt folgende universelle Eigenschaften hat

Question

Sei K ein Körper und seien V₁, V₂, V₃ K-Vektorräume. Es soll gezeigt werden, dass das Tensorprodukt (V₁ ⊗ V₂) ⊗ V₃ die folgende universelle Eigenschaft besitzt:

Ist W ein weiterer K-Vektorraum und ist f : V₁ × V₂ × V₃ → W eine multilineare Abbildung, so gibt es genau eine lineare Abbildung h ∈ Hom((V₁ ⊗ V₂ ) ⊗ V₃ , W ), so dass  h((v₁ ⊗v₂)⊗v₃)=f(v₁,v₂,v₃)

gilt für alle v₁ ∈ V₁,v₂ ∈ V₂,v₃ ∈ V₃.

Ich soll dabei so vorgehen:

1. a)  Sei B_i eine Basis von Vi für i = 1, 2, 3. Definiere mit Hilfe dieser Basen eine Basis von (V₁ ⊗ V₂) ⊗ V₃ und überprüfe, dass die Bedingung (+) insbesondere h auf dieser Basis festlegt.
   Folgere daraus, dass es höchstens ein h gibt, dass die Bedingung erfült.

2. (b)  Rechne nach, dass das in (a) gefundene h die Bedingung (+) erfüllt.

Ich habe keine Ahnung wie man die Aufgabe rechnen soll... Kann mir jemand helfen ?

Comments

Jemand eine Idee?