Lineares Gleichungssystem mit Randbedingungen lösen

Question

ich komme bei einer eigentlich "trivialen Aufgabe" nicht weiter. Ich muss ein LGS mit Randbedingungen lösen und komme einfach nicht auf das richtige Ergebnis

$$ x_1 = (1-p) x_1 + (1-p)x_2 $$

$$ x_2 = p(1-p)x_1 + p(1-p)x_2 +(1-p)x_3 $$

$$ x_3 = p^2 x_1 + p^2 x_2 + p x_3 $$

Mit den Randbedingungen

$$ x_1+x_2+x_3 =1 \quad \land \quad x_i \geq 0, \forall i \in \{1,2,3\} $$

Es ist schon etwas her, dass ich ein LGS lösen musste. Deswegen habe keine richtige Taktik, wie da rangehen soll. Mit dem Gleichsetzungs-,Einsetzungsverfahren etc. komme ich nicht aufs richtige Ergebnis. Das Gaußverfahren klappt auch nicht.

Könnte mir bitte jemand, erklären, wie ein derartiges LGS am löse.

Lsg: $$(x_1,x_2,x_3)= ( \frac{(1-p)^2}{1-p+p^2},\frac{(1-p)p}{1-p+p^2} , \frac{p^2}{1-p+p^2} ) $$

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Answer 1

Hallo Miradius :-)

Ich würde die Variablen erstmal umbenennen x := x1, y := x2, z := x3 und dann die Gleichungen so umformen, damit man das LGS mit dem Gaußalgorithmus lösen kann.
Aus der ersten Gleichung wird -px + (1-p)y = 0, aus der zweiten wird p(1-p)x + (p-p^2-1)y + (1-p)z = 0 und aus der dritten p^2 x + p^2 y + (p-1) z = 0 die Randbedingung liefert die Gleichung x + y + z = 1

Das sind vier Glechungen mit 3 Unbekannten, also ein überbestimmtes LGS, vermutlich wird bei der Lösung mit dem Gaußalgorithmus eine Gleichung Null werden.

Die vier Gleichungen kannst Du nun als Matrix schreiben und per Gaußalgorithmus auflösen.
Ich schreibe die Gleichungen noch einmal untereinander

I.          -px + (1-p)y = 0
II.          p(1-p)x + (p-p^2-1)y + (1-p)z = 0
III.         p^2 x + p^2 y + (p-1) z = 0
IV.         x + y + z = 1

Und als Matrix:
1                            1                           1                            1

-p                         1-p                         0                            0

p-p^2                  p-p^2-1                       1-p                          0

p^2                         p^2                           p-1                         0

Dabei habe ich die vierte Gleichung an erste Stelle gesetzt und bei Gleichung II. die Koeffizienten von x ausmultipliziert.

Das LGS kann man nun mit dem Gaußalgorithmus lösen.

Beste Grüße
gorgar