Berechnen von Koordinaten bei Linearer Optimierung

Question

Liebe Mathespezialisten,

Ich habe eine, wahrscheinlich etwas dumme, Frage zu folgender Aufgabe:

"Gesucht ist das Maximum der Zielfunktion z(x, y) = 3x + 2y unter Berücksichtigung der folgenden Nebenbedingungen: 

1) y ≤ 0,5x + 4   

2) 0,5 ≤ x ≤ 6 

3) y ≥ −2/5x + 2

4) y ≥ 0.1 · x. 

a) Stellen Sie den zulässigen Bereich Z grafisch dar und berechnen Sie alle Eckpunkte von Z. Da es sich um eine Skizze handelt, dürfen keine Koordinaten aus der Skizze abgelesen werden! (6 Punkte) "  

Ergebnis: (0.5; 1.8), (4; 0.4), (6; 0.6), (6; 7) und (0.5; 4.25)

Ich habe bei solchen Aufgaben bis jetzt immer die Ungleichung nach y umgestellt und dann eine Geradengleichung erhalten und konnte sie somit einzeichnen ( +und die Schnittpunkte herausschreiben) . Bei dieser Aufgabe muss man die Eckpunkte nun wohl rechnerisch bestimmen. Und ich komme einfach beim besten Willen nicht auf die Koordinaten der Punkte ;( 
Iih wäre mega dankbar, wenn mir jemand den, sicher sehr naheliegenden, Rechenweg erklären könnte!

!

Answer 1

z.B. bei 3) und 4) kannst du den Schnittpunkt berechnen, indem du

gleichsetzt

3) y ≥ −2/5x + 2

4) y ≥ 0.1 · x. 

also  0.1 · x  =  −2/5x + 2

         0,5x  =  2

             x = 4   und mit z.B. y ≥=0.1 · x erhältst du y = 0,4

als0 den Punkt  ( 4 ; 0,4 ) .  etc.

Answer 2

1) y ≤ 0,5x + 4   

3) y ≥ −2/5x + 2

y = 0,5x + 4

y = −2/5x + 2

Schnittpunkt
0,5x + 4  = −2/5x + 2

1 /2 * x + 2 / 5 * x = 2 - 4
5 / 10 * x + 4 / 10 * x = -2
9 / 10 * x = -2
x = - 20 / 9
y = 0.5 * -20 / 9 + 4
y = 5  1/9
( - 20/9 | 5  1/9 )

ich komme auf einen andern Schnittpunkt/Eckpunkt
als angegeben.

Geht vielleicht morgen weiter.

Tip : zuerst einmal zeichnen.

Comments

Die Fläche mit den Lösungen ist richtig
beschrieben.

1) y ≤ 0,5x + 4   

2) 0,5 ≤ x ≤ 6 

3) y ≥ −2/5x + 2

4) y ≥ 0.1 · x.

Nun alle Eckpunkte berechnen z.B.
0,5x + 4   = 0.5 ( links oben )

Ist dir das soweit klar ?

Answer 3

Wegen:

2) 0,5 ≤ x ≤ 6  

Kannst du einfach bei den Geraden, mit denen du schneiden möchtest. 

x=  0,5 oder  x = 6 einsetzen und den zugehörigen y-Wert ausrechnen.