Münzwurf mit 999 fairen und einer unfairen Münze

Question

Angenommen ich habe 1000 Münzen vor mir liegen. 999 davon sind fair. 1 zeigt hingegen auf beiden Seiten Zahl.

Ich wähle zufällig eine Münze aus und werfe diese 10 mal. Die Münze zeigt immer Zahl. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich eine faire Münze in der Hand halte?

Ich weiß hier gerade irgendwie nicht weiter. Hatte mir erstmal überlegt mit dem Satz von Bayes zu arbeiten aber so würde ich ja nur

die Wahrscheinlichkeit P(Faire Münze | Zahl).

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Eine sehr schöne Frage ! Danke.

Answer 1

A: Die Münze ist fair

B: Es wird 10 mal Zahl geworfen

P(A | B)

= P(A ∩ B) / P(B)

= P(A ∩ B) / (P(A ∩ B) + P(nicht A ∩ B))

= 999/1000 * 0.5^10 / (999/1000 * 0.5^10 + 1/1000 * 1^10)

= 999/2023

= 0.4938

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Also doch Satz von Bayes.

Ich habe es nur bei mir falsch modelliert.

Vielen Dank ! :)

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Man kann sich allgemein merken. Unterschiedet man bei einem Zufallsversuch mehrere Merkmale rechnet man mit der Bedingten Wahrscheinlichkeit. Das Kann mit einer Vierfeldertafel erfolgen oder Satz von Bayes und Satz der totalen Wahrscheinlichkeit.

Answer 2

Der Sachverhalt mehr in Worten

Wahrscheinlichkeit das 10 mal Zahl geworfen wird
Wahrscheinlichkeit für die unfaire Münze
1 / 1000 = 0.001

Wahrscheinlichkeit das mit einer fairen Münze
10 mal Zahl geworfen wird
0.5^10 = 0.000976563

Wahrscheinlichkeit das eine faire Münze gezogern
wurde
999 / 1000 = 0.999
Gesamtwahrscheinlichkeit
0.999 * 0.000976563 = 0.000975585938

0.000975586 / ( 0.000975586  + 0.001 )
0.000975585938 / 0.001975586

0.4938