Extrema mit Nebenbedingung - ich hab die Punkte und soll zeigen: Min und Max wird angenommen

Question

folgende Aufgabe: f(x,y) = xy  Nebenbedingung g(x,y) = x²+y²=1 (Einheitskreis, oder?)

Punkte sind nun (+-1/sqrt(2),+-1/sqrt(2))

Jetzt möchte ich zeigen, dass auf f überhaupt ein Minimum und Maxmum angenommen wird. In meiner Musterlösung steht, dass g(x,y) kompakt ist und f stetig --> Nach Analysis 1 folgt schon dass Min und Max angenommen wird.

Geht dies auch über die Hessematrix o.ä.? Was wäre das "allgemeine" Lösungsrezept hierfür? Oder muss ich immer sagen "g ist kompakt, f stetig"?

LG

Answer 1

Eine stetige Funktion nimmt über einer kompakten Definitionsmenge

immer ein Max und Min an.

Das heißt aber nicht, dass jede Funktion, die  ein Max

oder Min hat, eine stetige Funktion auf einem

kompakten Def. Bereich. ist . Etwa x² ist  zwar stetig auf ℝ ,

aber ℝ ist unbeschränkt, also nicht kompakt. Dennoch

ist 0 das absolute Minimum dieser Funktion.

Geht dies auch über die Hessematrix o.ä.? Was wäre das "allgemeine" Lösungsrezept hierfür?

Bei differenzierbaren Funktionen ist das oft eine gute Methode.

Wenn du mehr als nur die Existenz von Min und Max zeigen

musst, etwa auch wo sie sind, dann reicht der Satz über die

stetigen Funktionen auf kompaktem Definitionsbereich eh nicht.