Bestimmen Sie alle lokalen Extrema mit Nebenbedingung

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle lokalen Extrema der Funktion

f(x,y) = x³ + 3x² + y²

unter der Nebenbedingung g(x,y) = x² + y² -1 = 0

Problem/Ansatz:

Mit der Determinantenmethode, die unser Professor in der Klausur aber leider verbietet, erhalte ich alle Extrempunkte:

fx (x,y) = 3x² + 6x

fy (x,y) = 2y

gx (x,y) = 2x

gy(x,y) 2y

det\( \begin{pmatrix} 3x^2 + 6x & 2x \\ 2y & 2y \end{pmatrix} \) = 2xy(3x + 4) = 0

1. Fall = x = 0 oder y = 0 gibt alle vier möglichen Extrema, 3x + 4 = 0 gibt keinen gültigen Wert.

Diese 4 Punkte scheinen auch richtig zu sein.

jetzt versuche ich es ohne diese Determinantenmethode, sondern diese Standard-Subtraktions-lagrange Methode:

L(x,y,λ) = x³ + 3x² + y² + λ(x² + y² -1)

Lx = 3x² + 6x + 2xλ (I)

Ly = 2y + 2yλ (II)

Lλ = x² + y² -1 (III)

I * y - II * x = 3x²y + 6xy - 2xy = 0

⇔ 3x²y = - 4xy

⇔  x²y = - \( \frac{-4xy}{3} \)

 ⇔  x² = - \( \frac{-4x}{3} \)

Wenn ich diesen Wert für x2 jetzt in die Nebenbedingung packe, kommt bei mir nur Käse raus.

Wie löse ich diese Aufgabe auf diese Art und Weise,mit diesem Subtraktionsverfahren richtig?

Und noch eine Frage: Kann ich die Determinantenmethode verwenden, indem ich sie quasi nutze, aber anders hinschreibe, sodass sie dem normalen Standard-Verfahren entspricht? Wie kann ich mir den anderen Weg aus der Determinantenmethode herleiten?

Answer 1

Wenn ich diesen Wert für x2 jetzt in die Nebenbedingung packe, kommt bei mir nur Käse raus.

Wenn da nichts stimmiges herauskommt ist dies keine Lösung. Du hast in den unteren Zeilen auch ein zweites Minuszeichen mit eingebaut. Das ist doch nicht richtig.

3·x^2·y + 4·x·y = x·y·(3·x + 4) = 0 → hat also die Lösungen x = - 4/3 ∨ x = 0 ∨ y = 0

Diese hattest du ja auch über die Determinantenmethode herausbekommen.

Also mache mit x = 0 oder mit y = 0 weiter, denn dann ist ja I oder II auch erfüllt.

(x = -1 ∧ y = 0 ∧ k = - 3/2) ∨
(x = 1 ∧ y = 0 ∧ k = - 9/2) ∨
(x = 0 ∧ y = -1 ∧ k = -1) ∨
(x = 0 ∧ y = 1 ∧ k = -1)

Comments

Wie kommst du aber mit der zweiten Methode auf die Werte x = 0 bzw. y = 0?

Rein durch hinsehen, oder wie? Also nicht durch umstellen?

I * y - II * x = 3x²y + 4xy = 0

Und hier seht man dann, dass für x = 0 bzw. y = 0 jeder term = 0 ist, und die Gleichung dann erfüllt wird. Aber anders, durch umstellen, kann man das nicht sehen, oder? Also, wenn man nac einer variable umstellt.

Oder kann man auch einfach ausklammern?

xy(3x + 4) = 0.

Stimmt, ich war so versteift darauf, nach einer einzigen Variable umzustellen, um diese dann in die NB einsetzen zu können.

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3x^{2}y + 4xy = 0

Du siehst das du x und y ausklammern und das macht man dann natürlich

x·y·(3·x + 4) = 0

Das habe ich oben auch kenntlich gemacht.

Jetzt gilt nach dem Satz vom Nullprodukt, dass du jeden Faktor 0 setzten darfst.