Integration mit Substitution. f(x) = x*√(r²-x²) soll intregriert werden.

Question

kann mir jemand bitte die folgende Rechnung erklären?

Die ganze Sache mit du und dx ist verwirrend.

danke im voraus.

Answer 1

Wenn du substituierst muß du alles
was mit x zu tun hat ersetzen

Ich nehme einmal z

z ( x ) = r^2 - x^2 ( dies ist ein neue eigenständige Funktion )
z ´ ( x ) = -2x = dz / dx
dx = dz / ( -2x )

( Fast ) alles ersetzen

∫ x * √ z  dz / ( -2x )
∫ √ z dz / (-2)
1 / (-2 ) ∫ √ z dz
- 1 / 2  ∫ √ z dz
- 1/2 * 2/3 * z^{3/2}

Zurückersetzen
- 1//3 * (r^2 - x^2 )^{3/2}