Komplexes Gleichungssystem mit 2 Gleichungen

Question

seien $$\alpha,\beta \in \mathbb C$$ zwei komplexe Zahlen.

$$I: \quad \alpha \sqrt{\frac{2}{3}} + \beta \sqrt{\frac{1}{3}}=0 $$

$$II: \quad|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$$

Aus Glg. I folgt:

$$ \alpha = -\beta \sqrt{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt{\frac{3}{2}} =-\beta \sqrt{\frac{1}{2}}  $$

Aus

$$|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$$

wird dann

$$\frac{1}{2} |-\beta|^2 + |\beta|^2 = 1 \quad \Leftrightarrow \quad  |\beta |^2 = \frac{1}{1 +\frac{1}{2}} = \frac{2}{3} \quad \Rightarrow \quad |\beta|= \sqrt{\frac{2}{3} }$$

Wie kann ich jetzt beta konkret bestimmen?

Gruß

Sabrina

Answer 1

Seien p = ℜ(β) und q = ℑ(β), also β = p + iq mit reellen p und q.

Dann ist |β| = √(p² + q²) und somit √(p² + q²) = √(2/3).

Comments

Als Lösung soll $$ -\frac{2}{3} $$ rauskommen.

Ich sehe nicht, wie dass aus |β| = √(p² + q²) und somit √(p² + q²) = √(2/3) hervorgehen soll.

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√(p² + q²) = √(2/3)
⇔ p² + q² = 2/3 durch Quadrieren weil p² + q² ≥ 0
⇔ p² = 2/3 - q²
⇔ p = ±√(2/3 - q²) mit q ∈ [-√(2/3), √(2/3)] weil p reell ist.

> Als Lösung soll -2/3 rauskommen.

Lösung für was? Das Gleichungssystem hat keine eindeutige Lösung, da sowohl

        α = -√(1/3), β = √(2/3)

als auch

        α = -√(1/3)i, β = √(2/3)i

Lösungen sind.