Für welche reellen x ist U = {(a, b, c ) ∈ IR³ | a + b - c = x} ein Unterraum von IR³?

Question

Hallo

Es sind alle reellen Zahlen x gesucht, für die U = {(a, b, c ) ∈ IR³ | a + b - c = x} ein Unterraum von IR³ ist.

Answer 1

Wähle sinnvollere Bezeichnungen für die Variabeln:

Statt

U = {(a, b, c ) ∈ IR³ | a + b - c = x}  

U = {(x,y,z) , ∈ IR³ | x + y - z = d} 

Nun geht es um die zulässigen d .

x + y - z = d erkennst du als Koordinatenform einer Ebenengleichung. 

Zwingend muss (0|0|0) in U enthalten sein.

==> d = 0.

Also L = { d Element R | d = 0}

Nun wieder umbenennen, damit du die Frage richtig beantwortet hast.

Comments

Zwingend muss (0|0|0) in U enthalten sein. ==> d = 0.

Ja, das schon. Aber warum ist dann U ein Unterraum?

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Es handelt sich dann bei der Punktemenge um eine Ebene im Raum.

Da haben automatisch alle Linearkombinationen von Ursprungsvektoren aus U ihre Spitze in der erwähnten Ebene.

Illustration:

https://www.matheretter.de/geoservant/de?draw=x%20%2B%20y%20-%20z%20%3D%200%0Aebene(0%7C0%7C0%201%7C0%7C1%201%7C-1%7C0)%0Adreieck(0%7C0%7C0%201%7C0%7C1%201%7C-1%7C0)