Reelle Folgen, Unterraum zeigen

Question

Aufgabe:

Es sei ℝ^ℕ0={ (a_i)  i ∈ ℕ₀  | ∀ i _j∈ ℕ₀ : a_i ∈ ℝ } der ℝ-Vektorraum aller reellen Folgen.

Es sei j ∈ ℕ₀.

Zeige, dass U_j := { (ai)_i∈ℕ ∈ ℝ^ℕ0 | a_j+a_j+1 = a_j+2 } ein Unterraum von ℝ^ℕ0 ist.

Problem/Ansatz:

zu zeigen wäre:

a) U_j ⊆  ℝ^ℕ0

b) 0_ℝ^ℕ0 ∈ U_j

c) ∀ u,v ∈ U_j : u +_ℝ^ℕ0 v ∈ U_j

d) ∀ λ ∈ ℝ : ∀ u ∈ U_j : λ *_ℝ^ℕ0 ∈ U_j .

unser Problem besteht darin, nicht zu wissen, wie wir diese vier Aussagen beweisen.

Vielen Dank für die Hilfe!

Answer 1

a)  Sei (ai)i∈ℕ  ∈ Uj. ==> (ai)i∈ℕ ∈ ℝ^ℕ0 denn das ist
        schon in der Def. von U_j angegeben.

b) Die 0 von R^No ist die Folge, bei der alle Folgenglieder

den Wert 0 haben, also ist auch ist aj+aj+1 = aj+2

denn 0+0=0.

c) Hast du 2 Elemente von Uj, etwa (ai)i∈ℕ  und (bi)i∈ℕ

dann ist deren Summe die Folge (ai+bi)i∈ℕ

und wenn beide aus Ui sind, gilt ja

aj+aj+1 = aj+2  und bj+bj+1 = bj+2

==>  (aj+bj) + (a_j+1+b_j+1)=a_j+2+b_j+2 .

Also ist die Summenfolge auch in Uj.

Ebenso ist es bei d)