Ich beschäftige mich im Moment mit Differentialgleichung und würde gerne wissen, ob ich diese richtig gelöst habe.
Inhomogene Differentialgleichung: Da ao fehlt wird der Grad um 1 erhöht oder?
\( A \cdot y^{\prime}+B \cdot y=\alpha x+b \rightarrow \) Homogene Dgl. \( \quad A \cdot \lambda+B=0 \rightarrow \lambda=-\frac{B}{A} \rightarrow y=C \cdot e^{-\frac{B}{A}} \)
\( y=a_{1} \cdot x+b_{1} \cdot x+c_{1} \)
\( y^{\prime}=2 \cdot a_{1} \cdot x^{2}+b_{1} \)
einsetzen
\( 2 \mathrm{Aa}_{1} x+A b_{1}+B a_{1} x^{2}+B b_{1} x+B c_{1} \quad \) sortiert \( \quad x^{2} B a_{1}+x\left(2 \mathrm{Aa}_{1}+B b_{1}\right)+A b_{1}+B c_{1} \)
Koeffizientenvergleich
\( B a_{1}=0 \rightarrow a_{1}=0 \quad 2 \mathrm{Aa}_{1}+B b_{1}=a \rightarrow b_{1}=\frac{a}{B} \quad A b_{1}+B c_{1}=b \rightarrow c_{1}=\frac{b-\frac{a}{B} \cdot A}{B} \)
Daraus erhalte ich \( y_{[0\rangle}=\frac{a}{B} \cdot x+\frac{b-\frac{a}{B} A}{B} \) Allgemein: \( Y=C e^{-\frac{B}{A}}+\frac{a}{B} x+\frac{b-\frac{a}{B}}{B} \)
Nun ist noch gegeben, dass \( \mathrm{y}(0)=0 \)
dann müsste ich doch \( C=\frac{b-\frac{a}{B} \cdot A}{B} \) erhalten oder?
Und das wiederum wird in die Allgemeine eingesetzt \( y=\frac{b-\frac{a}{B} \cdot A}{B} \cdot e^{-\frac{B}{A}}+\frac{a}{B} x+\frac{b-\frac{a}{B}}{B} \)
