Inhomogene Differentialgleichung: y'*(1+x^2) = xy

Question

Aufgabe:

Inhomogene Differentialgleichung lösen:

\( y^{\prime} · \left(1+x^{2}\right)=x · y \)

Ich bräuchte Hilfe bei dem Rechenweg.

Also ich habe mir folgendes überlegt:

dy/dx *(1+x²) = x*y

dy/dx = (x*y)/(1+x²)

dy = (x*y)/(1+x²) dx

y = (1/2 x²*y')/(x+1/3x³) +C

Kann das richtig sein?

Answer 1

Hi,

Dein Ansatz ist richtig, allerdings klappt das so nicht. Du integrierst rechts nach x hast aber dort noch ein y stehen! Das bringe erst nach links:


dy/dx *(1+x²) = x*y
dy/dx = (x*y)/(1+x²)   |:y

∫dy/y=∫ (x)/(1+x²) dx   | rechts 2/2 ergänzen, dann hat man die Form f'/f

ln(|y|)=1/2 ln(1+x^2) + 1/2c

y = √(1+x^2) * d


Wobei das d eine neue Konstante ist. Wir haben ja den Logarithmus ersetzt durch e-Funktion anwenden. Da muss dann auch das +1/2*c mit. Das kann mittels der Potenzgesetze letztlich zur Konstanten d umgewandelt werden.


Bei Unklarheiten melden,


Grüße

Comments

Danke für die schnelle Hilfe.

Mir ist leider noch unklar wie, dass mit den 2/2 funktioniert. Könntest du mir das etwas genauer erklären?

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Du möchtest auf die Form ∫f'/f kommen, da Du folgendes wissen solltest -> ∫f'/f=ln|f|+c

Da die Ableitung von 1+x^2 -> 2x ist, fehlt also noch eine 2 im Zähler. Diese setze an, bedenke aber, dass Du auch wieder durch 2 dividieren musst (oder mit 1/2 multiplizieren). Da dies ein Faktor ist, kannst Du das vor das Integralzeichen setzen.

Wir haben also f=1+x^2 und f '=2x. Das ist eben ln|1+x^2|+c. Dann noch den Faktor 1/2 dransetzen:

1/2*ln|1+x^2| + 1/2*c


Alles klar? ;)

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Danke,

ich hätte da noch eine kleine Frage.

Wenn ich das ln auf der linken seite auflöse, also durch eine e-Funktion ersetze bekomme ich doch
1/2 e^{1+x²} *1/2 e^c oder?

Wie komme ich auf Wurzel (1+x²) ?

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Nope.

Auch das 1/2 muss in die Potenz genommen werden.
Mein Vorschlag: Logarithmengesetze zuerst anwenden

1/2*ln(1+x^2)=ln((1+x^2)^1/2)

Dann ists klar oder? ;)

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Hallo ich hätte da noch eine Frage bei einer anderen Aufgabe könntest du mir da vielleicht helfen?

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Muss leider weg. Würde das wohl auf die normale Art mit homogene und inhomogene Lösung finden lösen. Allerdings müsste das auch einfacher gehen, sehe es aber auf die Schnelle nicht.


Wenn sich niemand findet und es nicht gelöst ist, sobald ich zurück bin, schau ichs mir nochmals an :).

Grüße