Differentialgleichung durch Substitution: y' = x^x*(1+ln|x|)

Question

Differentialgleichung durch Substitution lösen:

\( y^{\prime}=x^{x} · (1+\ln |x|) \)

Ich habe Probleme bei dem Rechenweg. Könntet Ihr mir bitte den Rechenweg zeigen.

Answer 1

y' = x^x*(1+ln|x|)       ist ja rechts y-frei. Man kann die rechte Seite direkt integrieren, falls die Substitution gelingt.

Annahme x> 0, da sonst ln(x) und x^x nicht stetig definiert ist, so kann man die Betragsstriche mal weglassen.

Beachte weiter: (x^x)' = x^x * (1+ln(x))

Grund z.B. https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5Ex

Grund x^x = e^{ln(x^x)} = e^ (x*ln(x))  mit Ketten- und Produktregel korrekt abgeleitet

y' = x^x*(1+ln|x|)

Jetzt kannst du wohl seibst die Integration geeignet substituieren.

f(u) = e^ u
u = x*ln(x)
u' = (1 + ln(x))