Lösen einer Differentialgleichung mit Hilfe einer geeigneten Substitution: y' = (x^2 + y^2)·(2xy)^{-1}

Question

Aufgabe:

Lösen einer Differentialgleichung mit Hilfe einer geeigneten Substitution:

\( y' = (x^2 + y^2) · (2xy)^{-1} \)

Answer 1

Aloha :)

$$y'=\frac{x^2+y^2}{2xy}=\frac{x}{2y}+\frac{y}{2x}=\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}\right)^{-1}+\frac{1}{2}\frac{y}{x}$$Substituiere \(z:=\frac{y}{x}\), sodass \(y=zx\) bzw. \(y'=z'x+z\) und setze in die DGL ein:

$$\left.z'x+z=\frac{1}{2}z^{-1}+\frac{1}{2}z\quad\right|\;-z$$$$\left.z'x=\frac{1}{2}z^{-1}-\frac{1}{2}z=\frac{z^{-1}-z}{2}=\frac{1-z^2}{2z}\quad\right|\;:z'$$$$\left.x=\frac{1-z^2}{2zz'}\quad\right|\;\text{Kehrwert}$$$$\left.\frac{1}{x}=\frac{2z}{1-z^2}\,z'=\frac{2z}{1-z^2}\,\frac{dz}{dx}\quad\right|\;\cdot dx$$$$\left.\frac{dx}{x}=\frac{2z}{1-z^2}\,dz\quad\right|\;\text{Integrieren}$$$$\left.\ln x=-\ln\left(1-z^2\right)+c\quad\right|\;e^{\cdots}$$$$\left.x=\frac{1}{1-z^2}\cdot e^c\quad\right|\;\text{Kehrwert}$$$$\left.\frac{1}{x}=(1-z^2)\cdot e^{-c}\quad\right|\;\cdot e^c$$$$\left.\frac{e^c}{x}=1-z^2\quad\right|\;+z^2-\frac{e^c}{x}$$$$\left.z^2=1-\frac{e^c}{x}\quad\right|\;\text{Resubstituiere}$$$$\left.\frac{y^2}{x^2}=1-\frac{e^c}{x}\quad\right|\;\cdot x^2$$$$\left.y^2=x^2-c_0x\quad\right|\;\sqrt{\cdots}$$$$\left.y=\pm\sqrt{x^2-c_0x}\quad;\quad c_0=\text{const.}\right.$$

Answer 2

diese  DGL kannst Du auch als Bernoulli DGL lösen (falls behandelt)

und falls es die Aufgabe zu läßt :)

\( y^{\prime}=\frac{x^{2}+y^{2}}{2 x y}=\frac{x}{2 y}+\frac{y}{2 x} \)

 \( y^{\prime}-\frac{y}{2 x}=\frac{x}{2 y} \)

 \( y^{\prime}-\frac{y}{2 x}=\frac{x}{2} y^{-1} \)

usw.