Lösung der Dgl durch Substitution. Bsp. 2xy × y' - x^2 = y^2

Question

Lösen sie die allgemeine Lösung der folgenden DGL durch geeignete Substitution.

a.) 2xy × y' - x^2 = y^2

c.) x^2 × y' = y^2 - x × y

Answer 1

Wenn du selber keine Ideen hast könnte Wolframalpha bei der Ideenfindung helfen.

Ich finde den Lösungsweg von Wolfram nicht optimal dargestellt aber er hilft Ansätze zu sehen.

Wolframalpha sollte jeder Student und Schüler als App installiert haben.

Answer 2

Lösung durch Substitution geht so:

a.) 2xy × y' - x² = y²

Du formst zuerst um:

2xy * y' - x² = y²

2xy * y'  = y^2 + x^2  | x*y

2 *y '= y/x +x/y

Substutuiere:

z=y/x

y=z*x

y '= z' x +z

Setze das ein in: 2 *y '= y/x +x/y

Du bekommst :

2( z ' x +z) =z +1/z

das kannst Du mit Trennung der Variablen lösen.

Zum Schluß noch resubstituieren.

Aufgabe c ist vom gleichen Prinzip.