Hi,
für eine Funktion 3. Grades brauchen wir 4 Informationen (für eine Funktion 2. Grades 3 Informationen, für eine Funktion 4. Grades 5 Informationen usw.).
Wir wissen, dass diese Funktion durch H geht, also
f(0) = 3
Außerdem geht sie durch T, also
f(-3) = 0,3
Da an H ein Hochpunkt ist, hat die Funktion an dieser Stelle den Anstieg 0, also
f'(0) = 0
Und an T ist ein Tiefpunkt ebenfalls mit dem Anstieg 0, also
f'(-3) = 0
Damit haben wir die benötigten 4 Informationen.
Allgemeine Form einer Funktion 3. Grades:
f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
f'(x) = 3ax2 + 2bx + c
f''(x) = 6ax + 2b
Wir setzen unsere Informationen ein:
f(0) = a*03 + b*02 + c*0 + d = 0 | also d = 0
f(-3) = a*(-3)3 + b*(-3)2 + c*(-3) + d = 0,3; also -27a + 9b - 3c + 0 = 0,3
f'(0) = 3a*02 + 2b*0 + c = 0 | also c = 0
f'(-3) = 3a*(-3)2 + 2b * (-3) = 0; also 27a - 6b = 0
Es hat sich also reduziert zu
-27a + 9b = 0,3
und
27a - 6b = 0
Addieren der beiden Gleichungen ergibt
3b = 0,3 | also b = 0,1
Das eingesetzt in 27a - 6b = 0:
27a - 0,6 = 0
27a = 0,6
a = 0,6/27 = 1/45
Die Funktionsgleichung sollte also lauten:
f(x) = 1/45 * x3 + 0,1 * x2
Da H ein Hochpunkt ist, muss gelten:
f''(0) < 0
Und entsprechend muss wegen T gelten:
f''(-3) > 0
Das ist mit den gefundenen Werten nicht gegeben. Aus diesem Grund müssen noch die Vorzeichen geändert werden zum Endergebnis
f(x) = -1/45 * x3 - 0,1 * x2
Besten Gruß
