Kreisberechnung (Radius Mittelpunkt bestimmen)

Question

Hallo liebe Helfer,

die Aufgabe lautet "UNtersuchen Sie, ob die nachfolgenden Gleichungen Kreise beschreiben. Falls ja, bestimmen Sie den Mittelpunkt und den Radius."

Aufgabe 1: x² + y² + 4x - 2y + 1 = 0

Wie komme ich an die geforderten Werte?


Vg und danke im Voraus,

owntYA

Answer 1

Hi owntYA,

x² + y² + 4x - 2y + 1 = 0

x^2+4x  + y^2-2y    +1 = 0  |binomische Formeln ergänzen

x^2+4x+4-4   +y^2-2y+1-1  +1 = 0

(x+2)^2 -4 +(y-1)^2 -1 +1  = 0

(x+2)^2+(y-1)^2-4 = 0

 

Man kann nun direkt den Radius ablesen -> r^2=4 -> r=2

Der Mittelpunkt ist bei M(-2|1).

 

Grüße

Comments

Super!

Aufgabe b) konnte ich dank deiner Hilfe lösen,


Magst du mir bei kommender Aufgabe auch weiterhelfen?
Aufgabe: Bestimmen Sie eine Gleichung des Kreises, auf dem die nachfolgenden drei Punkte liegen.

1a.:       (0,0), (2,0) und (0,2)


Danke nochmals,


Vg

owntYA

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Wenn man sich das in ein Koordinatensystem malt, kann man es direkt sehen :).

Der Mittelpunkt befindet sich bei M(1|1), der Radius ist dann offensichtlich √2 (was man durch den Pythagoras auch schnell nachrechnen kann).

 

Man hat also

(x-1)^2+(y-1)^2-2=0

 

Grüße

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Ist es auch mögliche alle Punkte in (falls vorhanden) einer Kreisgleichung einzutragen und darüber an die Werte zu gelangen?

Vg

owntYA

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Eine Gleichung wird das nicht. Du wirst es mit dreien zu tun haben.


Schau mal hier: http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/kreis3p.htm

Ich denke gut erklärt mit Beispiel :).

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Kommentar zu Aufgabe b muss ich zurück nehmen.. :(

b)      x²+y²+x-y-1 = 0

= x² + x + y²+-y  -1 = 0   |binomische Formel ergänzen

= x²+x + 0,25  + y²-y  + 0,25  = 1

= (x+0,5)² + (y-0,5)²  -1 =  0

M = (-0,5 | +0,5) - STIMMT MIT LÖSUNGSBUCH    -  r = 1 (Stimmt nicht: 1/2√6)

Kannst du mir sagen wie ich auf r komme und wo mein Rechenfehler war?

Vg!

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Undeutlich geschrieben, meine Lösung für r war "1" da - 1 zu +1 wird und anschließend quadriert wird, siehe da - 1.

Lösungsbuch gibt mir dennoch "1/2√6"

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= x² + x + y²+-y  -1 = 0   |binomische Formel ergänzen

= x²+x + 0,25  + y²-y  + 0,25  = 1

 

Du hast wirklich nur "ergänzt". Du musst aber auch dafür sorgen, dass Du die Aussage der Gleichung nicht änderst. Das was Du ergänzt musst Du auch direkt wieder abziehen ;).

= x²+x + 0,25 -0,25 + y²-y  + 0,25 -0,25  = 1

= (x+0,5)² -0,25 + (y-0,5)²  -0,25 -1 =  0

= (x+0,5)² + (y-0,5)²  -1,5 =  0

 

Damit ist r=√3/2 = 1/(2√6)

 

;)

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Bedeutet, die binomische Formel wird ergänz um daraus (x+y)² zu schaffen, wobei die Gleichung stets gleich bleiben soll indem der Wert danach wieder abgezogen wird?


Kann man dass so beschreiben?


Vg

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-> (x+y)²

Das ist eine unglückliche Wahl an Variablen, da die schon belegt sind.

Nimm lieber (a+b)^2

Sonst aber richtig ;).

Answer 2

Die nachfolgenden Werte beschreiben einen Kreis, weil x und y im Quadrat vorkommen und weil die Vorzeichen dieser Quadrate positiv sind. Wären sie negativ mit gleichbleibenden anderen Werten gäbe es auch einen Kreis. Die Lage und der Radius wären aber anders.

\(f(x,y)=x^2+ y^2 + 4x - 2y + 1\)

\(f_x(x,y)=2x+ 4\)       \(2x+ 4=0\)      \(x=-2\)

\(f_y(x,y)= 2y - 2\)      \( 2y - 2=0\)     \(y=1\)

Der Mittelpunkt des Kreises hat die Koordinaten M \((-2|\green{1})\)

Bestimmung des Radius:

\(x^2+ y^2 + 4x - 2y + 1=0\) geschnitten mit  \(y=\green{1}\):

\(x^2 + 4x =0\)

\(x(x+4)=0\)

\(x_1=0\)     \(x_2=-4\)

Der Durchmesser hat die Länge \(d=0+|-4|=4\).

Somit ist der Radius \(r=2\)

Comments

Die nachfolgenden Werte beschreiben einen Kreis, weil x und y im Quadrat vorkommen und weil die Vorzeichen dieser Quadrate positiv sind.

Nach dieser Logik wäre x²+4y²=1 auch ein Kreis (ist es aber nicht).

Dann hast du in deinem Geogebra-Bild noch die Gleichung -x²-y²+4x-2y+1=0, die trotz negativer Vorzeichen der Quadrate auch einen Kreis beschreibt.

Ich möchte einmal mit Profis arbeiten.

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Es steht da "mit gleichbleibenden anderen Werten"  und in der Rotzeichnung ist auch nichts anderes zu sehen.