Matrizengleichung AXB^T -2AX+2AA=E +AAB^T. Matrix X ausrechnen

Question

die Gleichung ist 

AXB^T -2AX+2AA=E +AAB^T   

 mit A $$ \begin{pmatrix}  1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$ B = $$ \begin{pmatrix}  1 & 1 \\1 & 0 \end{pmatrix} $$

Nach Ausrechnen und umstellen bin ich auf $$ \begin{pmatrix}  4 & 3 \\ 0,5 & 3 \end{pmatrix} $$ gekommen aber in den Lösungen steht $$ \begin{pmatrix}  4 & 3 \\ -0,5 & 3 \end{pmatrix} $$ ich find meinen Fehler aber leider nicht. Ist vielleicht die Lösung falsch ?

Comments

Kannst du die Lösungen nicht testen, indem du die beiden X in die gegebene Gleichung einsetzt und schaust, was passt? 

Answer 1

AXB^T -2AX+2AA=E +AAB^T  
<=> A * (XB^T -2X+2A) =E +AAB^T  
<=> XB^T -2X+2A =A^-1  +AB^T  
<=> X*(B^T -2E) =A^-1  +AB^T  - 2A

<=> X =(  A^-1  +AB^T  - 2A )  *(B^T -2E)^-1   

Da bekomme ich 

A^-1  =   -2       1
           3/2    -1/2
     

AB^T =  3       1
           7        3

2A  =    2      4
            6       8

also für die 1. Klammer   -1         -2
                                        5/2    -11/2

Dann für die 2. Klammer 

B^T - 2E =    -1   1
                    1   -2

davon die Inverse   -2    -1
                                -1     -1

also für das X das Produkt  der 1. Klammer  mit dieser Matrix

und das gibt  das, was du raus hast.

Tippfehler in der Musterlösung ???
                         

Comments

kann gut sein, hat bei uns einer vorgerrechnet, vielleicht auch nur falsch abgeschrieben. Vielen Dank aufjedenfall