Aufgabe G2. Wie zeige ich, dass der Grenzwert 0 ist?

Question

Ich sitze seit ein paar Stunden an Mathe 2 (studiere Umweltingenieurwissenschaften) und dank dieser Aufgabe hier (siehe 1.Bild) raucht mir nun ziemlich der Schädel. Ich habe im 2.Bild auch mal die Lösung abfotografiert, die mir hier vorliegt. Was ich daran gar nicht verstehe ist, wie ich auf diese 2n im Exponenten kommen soll (2.Zeile nach dem = ) und woher die da dann -y  her haben. Ich habe schon verstanden, dass ich hier substitzieren muss, weil dieAufgabe so nicht lösbar ist. Also einfach 0 für alle x einsetzen geht halt nicht, weil ich nicht durch 0 teilen darf. Weiter komme ich jedoch nicht :( wäre echt lieb, wenn mir das jemand mal erklären könnte, bitte nicht zu kompliziert, ich sitze da schon eine Weile dran

Comments

Hast dir schon überlegt, was die da mit L'hospital meinen,

und das dann mal nachgerechnet? ;)

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Aufgeben hilft mir nicht weiter

Auf die Antwort komme ich dennoch nicht :(

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Nachgerechnet noch nicht, aber mit l'Hospital komme ich klar

Wann ich den anwenden kann und so weiter ist mir bewusst, hatte das gestern nochmal alles wiederholt.

Ich muss ja was umstellen können, weil der Bruch so zu kompliziert ist und man den so eben nicht verwenden kann.

Bin bei der Aufgabe echt überfragt

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Ach diese Zeile meinst du... hm.. ich verstehe. Mit normalen
Umformungen kommt man nicht einfach auf das y^2n da hast du Recht.
Also weder hin noch zurück!

Denn wenn y²ⁿ = 1/xⁿ wäre müsste ja eigentlich darauf folgen, dass y² = 1/x ist, wenn ich mich nicht vertue und das stimmt ja nicht... hmmm. Also ich komme mit der Substitution auf y^n/2 und nicht 2n...

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Wenn die Zeile in der Lösung unterhalb von

"a) wir substitieren y = 1/x^2 ..... "

komme ich auch auf y^{0.5n} = 1/x^n .

Dort stimmt etwas nicht.  Aber aus y = 1/x^2 folgt wenigstens direkt -y = -1/x^2 .

Woher stammt diese Lösung?

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Die Lösungen bekommen wir zu den Aufgaben zur Verfügung gestellt.  Da sind öfters mal Fehler drinnen leoder. Ich weiß nicht genau wer die macht.

Also wenn ich sage y= 1/(x^{2}), warum ändert sich dann im Nenner noch was? Das verstehe ich nicht so ganz

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Wovon sprichst du jetzt genau?

Wenn hier schon ein Fehler ist, stimmt der Rest dann ja auch nicht.

Bitte stelle Fragen zu einzelnen Umformungen exakter.

Answer 1

$$ \frac { 1 }{ x^2 }=y\\x^n=\frac { 1 }{ \sqrt { y^n } }\\\frac { e^{-1/x^2} }{ x^n }=  e^{-y}  y^{n/2}\\ e^{-y}< e^{-y}  y^{n/2} < e^{-y}  y^{n} $$

Verwende nun das Einschlusskriterium (y->∞)

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Wie kommt man in der 2.zeile auf x^n ? Und der Name einschlusskriterium sagt mich nichts. Ich muss das mit l'Hospital machen und so steht das ja auch in der Lösung. Wenn die jetzt noch richtig wäre. Anscheinend ist sie das ja nicht

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Die Aufgabenstellung lautet:

Zeigen sie, dass ... für alle n∈ℕ gilt.

Von l'hospital steht da erstmal gar nix.

Du kannst die Aufgabe frei nach belieben lösen.

Du kannst aber gerne l'hospital nutzen um

$$ \lim_{y\to\infty}e^{-y}y^n $$

zu bestimmen,siehe die obige Lösung. Diesen Grenzwert  benötigt man hier für die Anwendung des Einschlusskriteriums ebenfalls.

siehe z.B

https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Sandwichsatz,_Einschn%C3%BCrungssatz,_Einschlie%C3%9Fungssatz

wie kommt man auf x^n:

$$ \frac { 1 }{ x^2 }=y|*x^2\\1=yx^2|:y\\\frac { 1 }{ y }=x^2|\sqrt { ... }\\\frac { 1 }{\sqrt { y }  }=x|^n\\\frac { 1 }{ \sqrt { y^n } }=x^n $$

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Ich meine doch, dass ich nach dem Umstellen l'Hospital benutzen muss...und das steht in der Lösung