Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung. Lagrange .

Question

Verwenden Sie Lagrange-Multiplikatoren, um das folgende Extremwertproblem mit Ne-benbedingung zu lösen

Bestimmen Sie das Extremum der Funktion f : [0,∞) ^2 → [0, ∞) mit f(x, y) = 8x+32√y

unter der Nebenbedingung x + y = 12.

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Was ist jetzt Deine Frage ?

Answer 1

1. Lasse die Aufgabe durch einen Rechenknecht lösen

https://www.wolframalpha.com/input/?i=optimize+8x%2B32%E2%88%9Ay+with+x%3E%3D0,y%3E%3D0,x%2By%3D12

2. Stelle die Lagrange-Funktion auf.

3. Bilde die Partiellen Ableitungen und setze diese 0.

4. Löse das Gleichungssystem.

5. Untersuche auf Art der Extreme.

6. Vergleiche deine Lösung mit der zuvor erhaltenen Lösung vom Rechenknecht.

7. Bei Abweichungen von Deiner Lösung und der erhaltenen Lösung Frage hier nochmals mit Angabe Deiner Lösung nach.

Answer 2

Wenn Lagrange nicht verlangt ist:

Suche Extremum  f(x, y) = 8x+32*\( \sqrt{y} \)  mit x + y=12 →y=12-x

f(x) = 8x+32*\( \sqrt{12-x} \)

f´(x)= 8  - 16 *(12-x)^(-1/2)

1  - 2 *(12-x)^(-1/2)=0

(12-x)^(1/2)=2|^2

12-x=4

x=8 und y=4

f(8, 4) = 8*8+32*\( \sqrt{4} \)=128

Comments

Mit Lagrange:

Suche Extremum  \(f(x, y) = 8x+32\cdot \sqrt{y} \)  mit \(x + y=12\)

\(f(x, y,λ) = 8x+32\cdot \sqrt{y} +λ(x + y-12)\)

\(f_x(x, y,λ) = 8 +λ\)           \( 8 +λ=0\)        \( λ=-8\)

\(f_y(x, y,λ) =\frac{16}{\sqrt{y}} +λ\)        \(\frac{2}{\sqrt{y}} -1=0\)      \(y=4\) 

\(f_λ(x, y,λ) = x + y-12\)      \( x +4-12=0\)    \( x=8\)

\(f(8, 4) = 8\cdot 8+32\sqrt{4} =128 \)

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Und noch das Bild zur Aufgabe

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... weil's so schön ist ;-)