A ⊂ B ⇔ A ∪ B = B . Beweis zu Mengen, Ansatz

Question

Es seien A und B Mengen. Beweisen Sie:
\( A \subset B \Leftrightarrow A \cup B=B \)

Ansatz:

A= {8, 9}

B= {8, 9, 10}

A ∪ B= {8, 9, 10}

Geht das?

Answer 1

Hallo probe,

nein, das reicht leider nicht. Du sollst die Behauptung allgemein zeigen. Um ein Gefühl für den Beweis zu bekommen, ist Deine Vorgehensweise, Dir die Situation anhand eines Beispiels klar zu machen, jedoch sinnvoll! Nun folgt meine Beweisidee:

Zu zeigen ist \(A\subset B\Longleftrightarrow A\cup B=B\). Da Du eine Äquivalenz zeigen sollst, sind beide Richtungen (also \(\Longrightarrow\) und \(\Longleftarrow\) zu zeigen). Wir beginnen mit der "Hinrichtung", also \(\Longrightarrow\):

Wegen \(A\subset B\) sind alle Elemente von \(A\) auch in \(B\) enthalten. Daraus folgt, dass \(A\cup B\) genau alle Elemente von \(B\) enthält. Es folgt: \(A\cup B=B\).

Nun die Rückrichtung, also \(\Longleftarrow\). Wegen \(A\cup B=B\) sind sowohl alle Elemente von \(A\), als auch alle Elemente von \(B\) in \(B\) enthalten. Daraus folgt, dass alle Elemente von \(A\) auch in \(B\) enthalten sind, also \(A\subset B\).

So sind beide Richtungen und damit die Behauptung gezeigt. Hilft Dir das?

André