Rechteckige Fläche am Hang in die Horizontale projizieren

Question

leider komme ich zu keinem Ansatz, geschweige denn einer Lösung folgender Aufgabe: 

"Eine rechteckige Fläche von 100 m Länge und 20 m Breite liegt in einem geneigten Gelände so, dass die Neigung in Längsrichtung konstant 15° beträgt und in Querrichtung konstant 30°. Berechnen Sie die Fläche dieses Rechteckes, wenn es in der Horizontale projiziert wird."

Ich würde mich freuen wenn mir jemand Denkanstöße oder Lösungsansätze geben kann.

   

Answer 1

Das Rechteck sei aufgespannt durch die Vektoren a := (a_x a_y a_z)^T und b := (b_x b_y b_z)^T, hat also die Eckpunkte (0|0|0), (a_x|a_y|a_z), (b_x|b_y|b_z) und (a_x+b_x|a_y+b_y|a_z+b_z). Die Projektionen der Vektoren sind a' := (a_x a_y 0)^T und b' := (b_x b_y 0)^T.

> Eine rechteckige Fläche

a·b = 0.

> 100 m Länge und 20 m Breite

Also |a| = 100 und |b| = 20.

> die Neigung in Längsrichtung konstant 15° beträgt

a·a' / (|a|·|a'|) = cos(15°)

> in Querrichtung konstant 30°

b·b' / (|b|·|b'|) = cos(30°)

Löse dieses Gleichungssystem.

Das Gleichungssytem ist nicht eindeutig lösbar (5 Gleichungen, 6 Variablen). Das deckt sich mit der Tatsache, dass die durch a und b aufgespannte Ebene um die z-Achse gedreht werden kann ohne dass die in der Aufgabenstellung geforderten Eigenschaften verletzt werden. Man darf deshalb o.B.d.A. a_x = 0 setzen.

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