Zylinder mit abgerundetem Boden

Question

Ein Zylinder von 85mm Durchmesser hat am Boden eine Abrundung von 15mm Radius.

In welcher Höhe sind 500 cm³ befüllt?

Den Zylinder habe ich schnell berechnet, die Höhe beträgt dann für 500cm³ =88,113mm

Aber was muss ich für die Abrundung abziehen?

Comments

Aber was muss ich für die Abrundung abziehen?  

Das ist ein Rotationskörper. Kannst du schon Integrieren? 

Wenn ja, könntest du damit arbeiten: https://de.wikipedia.org/wiki/Rotationsk%C3%B6rper 

Bemerkung: Man kann den Körper "ablegen" damit sich eine Rotation um die x-Achse ergibt. 

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Eine "einfache" Formel ohne Integral gibt es dafür nicht?
Den Querschnitt könnte man sicher berechnen, an einer Gerade kann man dann auch ein Volumen bekommen.
Aber der Umfang ist ja gebogen, also nehme ich wohl nicht den "inneren" Umfang, und auch nicht den äußeren, sondern irgendwas dazwischen.
Den Umfang am Flächenschwerpunkt?!?
(Und falls ja, wie berechne ich den!)

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Eine "einfache" Formel ohne Integral gibt es dafür nicht?

Doch, der zusätzliche Teilkörper ist ein Kugelabschnitt.

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Kugelabschnitt? Grübel...
Nö, ... moment ... denk ...
Nö, kommt nicht hin. Denn der Radius der Abrundung passt nicht zum Radius des Zylinders.

Näherungsweise ist das aber eine Überlegung.

Ha!
Aber ein Torus !
Zumindest ein Teil davon.
Wie kann ich die innere Hälfte von einem Torus berechnen?

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Hm... ich habe bei meiner Überlegung das Foto gar nicht berücksichtigt. Dem Foto entsprechend handelt es sich wohl eher um eine Kugel"scheibe", also die Differenz zweier Kugelabschnitte.

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@az0815. Kugelabschnitt sehe ich auch nicht. Das Volumen von einem Schlauch ist nicht dasselbe, wie das von einer Kugel. 

Zurück zu meinem Vorschlag: 

Die Funktionsgleichung für die Mantellinie (nach Ablegen und Rotation um die x-Achse): 

f(x) = 42,5 - √(15^2 - x^2) , für x zwischen 0 und 15. 

V_(Bodenbereich) =π  ∫_(0)^15 (42,5 - √(15^2 - x^2))^2 dx 

Nun ergibt sich aber wegen der binomischen Formel im Integranden u.a. die Integration einer Wurzel. Ich hoffe, dass du dazu ein Verfahren kennst.

Anmerkung: Auch bei der Variante von Oswald sehe ich keine Möglichkeit, dass du die Integration der Wurzel umgehen könntest. 

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Hmmm, und ich dachte, das kann doch nicht so schwer sein.
Jedenfalls sehe ich jetzt eindeutig, dass ich nicht umsonst so lange damit verbracht habe das Problem zu lösen.
Das heisst, ich habe jetzt eine sehr triviale Lösung:
Ich habe es in meinem CAD-Programm gezeichnet und mir das Volumen dort berechnen lassen...
OK, die Lösung ist nicht ganz so mathematisch, aber bevor ich mich mit Integralen rumschlage ...

Jedenfalls danke an alle!

Bye

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Ok, bei genauerer Betrachtung des Fotos erscheint mein Vorschlag als nicht passend.

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Bitte. Gern geschehen!

Soo schwer ist integrieren eigentlich nicht. Aber wenn du CAD zur Verfügung hast, - umso besser.

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Wen's noch interessiert:

Answer 1

> Aber was muss ich für die Abrundung abziehen?

Sei f: [27,5; 42,5] → [0; 15] die Funktion, dessen Graph das rechte untere Viertel eines Kreises mit Radius 15 und Mittelpunkt (27,5 | 15) ist.

Du musst das Volumen des Körpers abziehen, der zwischen Graph und x-Achse durch Rotation um die y-Achse entsteht. Das ist

        2π·∫_{27,5 ..42,5} x·f(x) dx

gemäß shell integration.

Comments

Kann man das auch so hinbekommen, dass es ein Taschenrechner berechnen kann?!?

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Das hängt von dem Taschenrecher ab. Meiner kommt problemlos auf \(-\frac{1125\pi\cdot(11\pi-48)}{4}\).

Die Beschreibung "rechte untere Viertel eines Kreises mit Radius 15 und Mittelpunkt (27,5 | 15)" hat mein Tascherechner seltsamerweise aber nicht verstanden. Da musste ich mein Wissen über Gleichungen von Kreisen und über Funktionstransformationen rauskramen.

Aber zum Glück konnte mein Rechner daraus dann das Integral bestimmen; da hätte ich keinen Bock drauf gehabt.