Beweis der Existenz einer Wurzel, ohne Supremum/Infimum und Maxima/Minima

Question

Zeige die Existenz einer Wurzelfunktion
√* : ℝ_>0   → ℝ_>0, a→ √a mit der Eigenschaft √a² = a für alle a ∈ ℝ. Betrachte dazu die 2 Teilmengen X = { x ∈ ℝ_>0 | x² < a} und y = { y ∈ ℝ_>0 | y² > a}
Wenden Sie nun das Vollständigkeitsaxiom an, um ein c ∈ ℝ mit x ≤ c ≤ y für alle x ∈ X und y ∈ Y zu finden. Verwenden Sie, dass für alle ε ∈ ℝ mit 0 < ε < 1 die Aussagen c + ε ∉ X, c - ε ∉ Y  gelten und schliessen Sie jeweils auf c² ≥ a
beziehungsweise c² ≤ a.

Ich habe viele Beweise gefunden, allerdings haben wir Supremum und Infimum noch nicht behandelt, wie auch noch keine Schranken und minima/maxima. Kann hier jemand mal drüber schauen oder vielleicht was besseres anbieten?

Da x² < a < y² und wir uns nur im ℝ_>0 bewegen, gilt auch x < y. Damit bewegen wir uns in einem vollständig angeordneten Körper. Nach dem Vollständigkeitsaxiom gibt es keine Lücke zwischen x und y geben, somit muss ein "c" existieren.
Nach Definition der Aufgabe gilt c - ε ∉ Y, foglich gilt auch (c - ε)² ∉ Y.
Daher c² + ε² - 2εc ≤ a
Also ist auch c² - 2εc ≤ a gültig, da ε² nur positiv sein kann.
Weiter gilt nach Definition der Aufgabe gilt c + ε ∉ X
Daher c² + ε² + 2εc ≥ a
Also ist auch c² + 2εc ≥ a gültig, da ε² nur positiv sein kann.
Da nun  "c² ≥ a - 2εc ∧ c² ≤ a + 2εc" gilt, gilt durch die Antisymmetrie der Anordnungsaxiome, dass c² = a ist.

Danke euch

Comments

Wie habt ihr denn das Vollständigkeitsaxiom formuliert ?

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> Da x² < a < y² und wir uns nur im ℝ_>0 bewegen, gilt auch x < y. Damit bewegen wir uns in einem vollständig angeordneten Körper.

Ich würde auch gerne wissen, wie ihr Vollständigkeitsaxiom formuliert habt. "Aus x,y > 0 und x² < y² folgt x < y" ist es jedenfalls nicht.

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∀X,Y ⊆ ℝ: (( X ≠ ∅ ∧ Y ≠ ∅ ∧∀x ∈ X ∀y ∈ Y : x ≤ y ) ⇒ ( ∃c ∈ ℝ∀x ∈ X ∀y : x≤ c ≤ y ))

Wie gesagt, dass war einfach mein eigener Versuch. Ich bin auch für einen komplett neuen Ansatz offen

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Hat vielleicht noch jemand einen Tip?

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Wie habt ihr denn das Vollständigkeitsaxiom formuliert?

Beantworte erstmal die gestellten Rueckfragen.

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@Fakename: Wie oben bereits geschrieben: VOLLSTÄNDIGKEITSAXIOM ⇒ ∀X,Y ⊆ ℝ: (( X ≠ ∅ ∧ Y ≠ ∅ ∧∀x ∈ X ∀y ∈ Y : x ≤ y ) ⇒ ( ∃c ∈ ℝ∀x ∈ X ∀y : x≤ c ≤ y ))

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Ich möchte dieser Frage noch einen Aufmerksamkeitsbump geben

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Noch ein finaler Bump, dann möchte ich die Frage wo anders stellen

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Du hast doch schon eine Antwort bekommen. Die enthaelt zwar noch Fehler und ist nicht ausformuliert, aber alle Ideen zum Beweis sind drin. Zeige, dass X und Y nicht leer sind, indem Du konkret je ein Element angibst. Zeige, dass (elementweise) X < Y. Das hattest Du schon selber. Jetzt kannst Du das Vollstaendigkeitsaxiom in eurer Formulierung (mal was anderes; hab ich so noch nie gesehen) anwenden. Es gibt also ein c ∈ ℝ (sogar in ℝ_>0) mit X ≤ c ≤ Y (elementweise). Ueber dieses c sollst Du jetzt mit den Rahmenbedingungen (da gibt es nur die Definitionen von X und Y) und den restlichen Axiomen für ℝ herleiten: c² = a und c ist eindeutig bestimmt. Was hast Du von diesem Programm bisher ausgefuehrt?

Answer 1

Gehe doch nach dem Tipp vor:

Betrachte dazu die 2 Teilmengen X = { x ∈ ℝ_>0 | x² < a} und Y = { y ∈ ℝ_>0 | y² > a} .

Prüfe, dass beide die Voraussetzungen des Axioms erfüllen, also :

X ≠ ∅ ∧ Y ≠ ∅     ∧   ∀x ∈ X ∀y ∈ Y : x ≤ y

Sie sind beide nicht leer; denn z.B. enthält X das Element a/2 und Y das Element 2a.

Und sind nun  x ∈ X   und    y ∈ Y , dann gilt    x² < a   und   y² > a

und nach deiner Argumentation also auch x ≤ y .

Dann existiert nach dem Vollständigkeitsaxiom also ein c mit  x≤ c ≤ y .

Und das ist dann die gesuchte Wurzel.  Um zu zeigen, dass die eindeutig bestimmt ist,

musst du ( über den Tipp mit dem Epsilon ) zeigen, dass zwei solche c's jedenfalls gleich sind.

Comments

"Nach Definition der Aufgabe gilt c - ε ∉ Y, foglich gilt auch (c - ε)² ∉ Y."
Das habe ich doch probiert?

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Na klar, aber du hast keinen Bezug zum Vollständigkeitsaxiom,

also keinen Existenzbeweis.

 

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"Nach dem Vollständigkeitsaxiom gibt es keine Lücke zwischen x und y geben, somit muss ein "c" existieren."
(c - ε)² usw. ich versteh deinen Tip nicht. Ich soll den Tip benutzen, habe ich getan. C existiert wegen dem Vollständigkeitsaxiom -> habe ich auch argumentiert