Eine Matrix wird auf einen Vektor angewendet, woraus sich ein neuer Vektor ergibt.
Auf diesen neuen Vektor wird die Matrix nun erneut angewendet und so weiter immer wieder siehe Darstellung:
$$\begin{pmatrix} x _{1} \\y _{1}\\z _{1} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a & b &c\\ d &e&f\\g&h&i\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_o\\y_o\\z_o \end{pmatrix}$$
---
$$\begin{pmatrix} x _{2} \\y _{2}\\z _{2} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a & b &c\\ d &e&f\\g&h&i\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x _{1} \\y _{1}\\z _{1} \end{pmatrix}$$
---
$$\begin{pmatrix} x _{3} \\y _{3}\\z _{3} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a & b &c\\ d &e&f\\g&h&i\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x _{2} \\y _{2}\\z _{2} \end{pmatrix}$$
---
$$\begin{pmatrix} x _{3} \\y _{3}\\z _{3} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a & b &c\\ d &e&f\\g&h&i\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b &c\\ d &e&f\\g&h&i\end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} a & b &c\\ d &e&f\\g&h&i\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_o\\y_o\\z_o \end{pmatrix}$$
---
$$\begin{pmatrix} x _{3} \\y _{3}\\z _{3} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a & b &c\\ d &e&f\\g&h&i\end{pmatrix}^3\cdot \begin{pmatrix} x_o\\y_o\\z_o \end{pmatrix}$$
---
$$\begin{pmatrix} x _{n} \\y _{n}\\z _{n} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a & b &c\\ d &e&f\\g&h&i\end{pmatrix}^n\cdot \begin{pmatrix} x_o\\y_o\\z_o \end{pmatrix}$$
Gibt es eine Berechnungsmethode, den Vektor zu ermitteln, nachdem die Matrix unendlich oft angewendet wurde ?
$$\begin{pmatrix} x _{\infty} \\y _{\infty}\\z _{\infty} \end{pmatrix}= \lim_{n \rightarrow \infty} \begin{pmatrix} a & b &c\\ d &e&f\\g&h&i\end{pmatrix}^n\cdot \begin{pmatrix} x_o\\y_o\\z_o \end{pmatrix}$$
Nebenbedingungen:
$$ (-1\lt \{a,b,c,d,e,f,g,h,i\} \lt 0) \lor (0 \lt \{a,b,c,d,e,f,g,h,i\} \lt 1)$$
Zusätzlich sind die Summen der Spaltenelemente und der Zeilenelemente in der Matrix jeweils gleich 1, also
$$ a+b+c =1$$
$$ d+e+f =1$$
$$g+h+i =1$$
$$a+d+g=1$$
$$ b+e+h =1$$
$$ c+f+i =1$$
Da gibt's doch bestimmt was, oder?