Extremwertaufgabe (Flugzeughangar)

Question

:)

Schon fängt das neue Schuljahr an und schon wird mit einem Thema gestartet, was mir jetzt nicht so liegt.. :( Thema: Extremwertaufgaben. Dazu haben wir heute eine Hausaufgabe bekommen, an der ich leider verzweifle. Folgendes:

Die Seitenwand eines Flugzeughangars hat die Form eines Graphen mit der Gleichung f(x)= 1/25x^4-2/3x^2+9/5  für [-1,84;1,84]

In diese Seitenwand der Halle soll ebenerdig ein Tor mit möglichst großer Fläche gebaut werden.

Es hapert schon bei der HB..  

1) A=2x*y

2) A=x*y

Was ist richtig?

NB ist f(x), richtig?

Jetzt setzte ich f(x) für y ein und forme so um, dass ich eine Gleichung erhalte. Davon berechne ich den HP. 

Soweit so gut. Was mache ich danach?

:)

Answer 1

Skizze:

~plot~ 1/25x^4-2/3x^2+9/5;x=1;1.2;x=-1; x=-1,84;x=1,84 ~plot~ 

Die Intervallgrenzen zeigen dir einfach, wo die Hangarwand in den Boden geht. 

Ich habe in der Skizze mal von Auge eine beliebige Tür eingepasst. Beispiel x = ±1 und y = 1.2 

Es hapert schon bei der HB..  

1) A=2x*y

2) A=x*y

Was ist richtig?

Es geht beides um das x auszurechnen. Die maximale Fläche bekommst du automatisch, wenn du 1) verwendest. 2) ist eine Idee schneller ausgerechnet. 

NB ist f(x), richtig?

Ja.

Comments

:)

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Bitte. Gern geschehen.

"In diese Seitenwand der Halle soll ebenerdig ein Tor mit möglichst großer Fläche gebaut werden."

ist ja keine eigentliche Frage. Wenn nichts Konkretes gefragt ist, bestimme selbst, welche Angaben für den Bau des Tors wichtig sind. Die Breite und die Höhe der Öffnung z.B. Falls das Tor 2 Flügel haben soll haben diese beiden die Masse x und y. Die Breite des Tors ist 2x. usw. Die Fläche allein genügt sicher nicht, wenn man das Tor anfertigen will. 

Zum Nachweis des Maximums: Deine Zeilfunktion ist ein Polynom. Die Fläche ist sicher 0 für x = 0 und für x = 1.84. Dazwischen ist die Fläche positiv. Sollte die Ableitung zwischen x=0 und x=1.84 nur eine Nullstelle haben, handelt es sich automatisch um ein relatives Maximum. Erwähne diese Überlegung und du kannst dir das Einsetzen in die 2. Ableitung sparen. 

Answer 2

A(x)= x*f(x)

Setze A'(x)= 0 (1.Ableitung Null setzen)

Answer 3

Die Aufgabenstellung lässt einige Fragen offen: Ist die ebene Erde die x-Achse? Soll das Tor rechteckig sein?

Ich beantworte mal beide Fragen mit "ja".

Der Graph der Randfunktion ist ymmetrisch zur y-Achse. Dann ist (x;y) eine Ecke des Tores und das Tor hat den Flächeninhalt 2xy.

Ebensogut könnte man aber auch das halbe Tor maximieren.

1) A=2x*y = 2x·f(x)

2) A=x*y = x·f(x)

Was ist richtig? Beides! Wenn das halbe Tor ein Maximum hat,dann hat auch das ganze Tor ein Maximum.

NB ist f(x), richtig? Ja, richtig

Es gibt mehr als einen HP. Du musst den auswählen, dessen x-Koordinate im Intervall [1,84;1,84] liegt. 1,84<x_T<1,84. Das ist dann die halbe Breite des Tores. Die Höhe des Tores ist f(x_T), die Fläche x_T·f(x_T)

Comments

Alles klar! Ich hab jetzt ein HP bei HP(1/1,17) errechnet. Warum ist das jetzt automatisch die Höhe der Tür? Und warum muss ich die 1 jetzt nochmal verdoppeln? 

Answer 4

Hier einmal meine Skizze

Maxwert
A ´( x ) = 0
x = 1
f ( x ) = 1.17
A = 1.17 m^2

Beiseitig mal 2