Ableitung mit Kettenregel / Produktregel. Wo hat Steigung von f(x) = 2^x den Wert ln(2)?

Question

Ich brauche undebingt eure Hilfe. Mein Lehrer wirft uns in das Thema hinein ohne viel dazu zu sagen. Was gesucht ist, steht drauf, aber wie ich hinkomme.. dafür hab ich kein Ansatz. :(

Answer 1

zur Kettenregel und Ableitung der \(e-\)Funktion gibt es gute Videos, z.B.:

https://www.youtube.com/watch?v=5XTyvEe70Fs

Für den ersten Arbeitsauftrag berechnest Du die Ableitungen der vorgegebenen Funktionen und erhältst: $$f(x)=2^x\Longrightarrow f'(x)=\ln(2)\cdot 2^x$$  $$f(x)=0.5e^x\Longrightarrow f'(x)=0.5e^x$$  $$f(x)=-e^x\Longrightarrow f'(x)=-e^x$$ Um die Stellen herauszufinden, an denen die Funktion die vorgegebene Steigung \(m\) besitzt, setzt Du den Wert von \(m\) mit der Ableitung \(f'(x)\) gleich und berechnest die Werte für \(x\).

Bei dem zweiten Arbeitsauftrag berechnest Du (wie im ersten Arbeitsauftrag) die Ableitungen und setzt die vorgegebenen \(x-\)Werte ein, um so die Steigung für den jeweiligen \(x-\)Wert zu berechnen. Die Ableitungen lauten: $$f(x)=e^{-x}\Longrightarrow f'(x)=-e^{-x}$$ $$f(x)=e^{2x}\Longrightarrow f'(x)=2e^{2x}$$ $$f(x)=5^{x^2}\Longrightarrow f'(x)=\ln{(5)}\cdot 2x\cdot 5^{x^2}=\ln{(25)}\cdot x\cdot 5^{x^2}$$

Hilft Dir das weiter?

André

Comments

Suuuper, danke, sehr hilfreich! :)

Ich habe aber noch eine kleine Frage zu der ersten Aufgabenstellung: beim Gleichsetzen muss ich x berechnen, d.h. es muss alleine stehen, wie kriege ich das x runter?

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Gerne doch!

Ich bin mir nicht sicher, was Du mit "[...]  wie kriege ich das x runter" meinst, aber ich vermute es ist das Entfernen aus dem Exponenten gemeint. Für die erste Aufgabe ginge das wie folgt:

$$\ln{(2)}\cdot 2^x=\ln{(2)} \mid \text{ geteilt durch }\ln{(2)}$$

$$2^x=1\mid \text{Logarithmus zur Basis 2 auf beide Seiten anwenden}$$

$$\log_{2}{(2^x)}=\log_{2}{(1)}$$

$$x=0$$

Die Operation, die das \(x\) "aus dem Exponenten holt" heißt Logarithmieren.

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Ja, das ist damit gemeint. Tatsächlich haben wir im Unterricht schonmal das Logarithmus Gesetz gehabt. Also, wenn ich das richtig verstehe und auch richtig verwende und eingebe im Taschenrechner, wäre die zweite Aufgabe dann x= -0,52?

Ich danke Dir :)

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Wenn Du die Funktion \(f(x)=0.5\cdot e^x\) meinst, dann hast Du Dich wahrscheinlich verrechnet. Für die Ableitung haben wir \(f'(x)=0.5\cdot e^x\) berechnet. Setzen wir das gleich \(\dfrac{1}{2e}\) erhalten wir \(0.5\cdot e^x=\dfrac{1}{2e}\). Mal \(2\) auf beiden Seiten ergibt \(e^x=\dfrac{1}{e}\). Jetzt musst Du den natürlichen Logarithmus \(\ln\) auf beide Seiten der Gleichung anwenden (d.h. der Logarithmus zur Basis \(e\)). Daraus folgt dann $$\ln{(e^x)}=\ln{\left(\dfrac{1}{e}\right)}$$ $$\Longleftrightarrow x=-1$$ Du kannst Deine Ergebnisse überprüfen, indem Du den errechneten \(x-\)Wert in Deine Ableitung einsetzt. Kommt der vorgegebene Wert für \(m\) heraus, dann stimmt Dein Ergebnis.

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> ...  ergibt  e^x = 1/e  . Jetzt musst du ... 

Hier geht es auch etwas einfacher durch Exponentenvergleich: 

 e^x = 1/e   ⇔  e^x = e^-1  ⇔  x = -1 

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Analog kannst Du bei der \(a.)\) auch einen Strukturvergleich durchführen. Denn es ist $$\ln{(2)}\cdot 2^x=\ln{(2)}$$ Es muss also \(2^x\) den Wert \(1\) haben und das ist für \(x=0\) erfüllt.