Kettenregel, Produktregel und Quotientenregel: (1-x) ln(1-x) und (1+x2) / (1-2x)

Question

Ich habe Probleme mit der Kettenregel, Produktregel und Quotientenregel. Kann mir jemand anhand dieser zwei Beispiele erklären wann die Kettenregel zum Einsatz kommt? Bis zur zweiten Ableitung

(1-x)ln(1-x)

&

(1+x²) / (1-2x)

Answer 1

Für ersteres f(x)=(1-x)ln(1-x) : Es gilt die Produktregel. Also (uv)'=uv'+u'v

Schreiben wir dies genau so nieder erhalten wir:
f'(x)=(1-x)(ln(1-x))'+(1-x)'ln(1-x)

 

v=ln(1-x)
u=1-x

u' lässt sich sofort bestimmen -> u'=-1
Für die Ableitung von ln(1-x) erinnern wir uns an die Ableitung von (ln(a))'=1/a. Noch die innere Ableitung angesetzt und wir erhalten:
v'=-1/(1-x)

 

Also: f'(x)=(1-x)(ln(1-x))'+(1-x)'ln(1-x)=-(1-x)/(1-x)+ln(1-x)*(-1)=-ln(1-x)-1

 

Du konntest folgen?

f''(x)=1/(1-x)    -> Einfach die Ableitung des Logarithmus bilden wie zuvor. Der konstante Teil entfällt ja.

 

Für den zweiten Teil nutzen wir die Quotientenregel:

g(x)=(1+x²) / (1-2x)

u=(1+x²)
v=1-2x

u'=2x
v=-2

Also: g'(x)=(2x*(1-2x)-(1+x²)(-2))/(1-2x)²=(2x-4x²+2+2x²)/(1-2x)²=(-2x²+2x+2)/(1-2x)²

Für g''(x) gehen wir genauso vor. Letztlich erhalten wir

g''(x)=-10/(1-2x)³

 

Klar? Sonst frag gerne nach.

 

Grüße

Comments

Bei der ersten Aufgabe habe ich noch eine Frage.

 

Es kommt zur Ketten- und produkttenregel. Die Kettenregel wende ich in der Produktregel an?

 

Wie schaut es bei diesem Beispiel aus, danach sollte es klar sein:

 

3x+(2x²)^1/2  / (1+x)

 

Vielen Dank

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Yup, die Kettenregel wird für den Logarithmus gebraucht. Die "innere Ableitung" ;).
D.h. Du benutzt hier beide Regeln, wie Du richtig erkannt hast.

Dann klar? Sonst frag gerne nochmal spezifisch nach.

 

Zu Deinem anderen Beispiel. Hier brauchts wieder die Quotientenregel.

Erstmal vereinfachen des zweiten Summanden: (2x²)^1/2=√(2)*x

h(x)=(3x+√(2)*x) / (1+x)   (Ich vermute da kommt eine Klammer drumrum.

h'(x) bilden, indem wir wieder u und v bestimmen:

u=3x+√(2)*x
v=1+x

u'=3+√(2)
v'=1

h'(x)=((3+√(2))*(1+x)-(3x+√(2)*x)*1)/(1+x)²=(3+√(2)+3x+√(2)x-3x+√(2)x)/(1+x)²=(3+√(2))/(1+x)²

Die zweite Ableitung funktioniert wieder genauso:

h''(x)=-((2√(2)+6)/(1+x)³)

 

Klar? Ich hoffe Du kannst es lesen. Am PC ein wenig schwierig ;/.

 

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Wie kommst du auf h''? Ich erhalte dafür (2-12x) / (1-x)^3...

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Hi,

h'(x)=(3+√(2))/(1+x)²

u=3+√(2)
v=(1+x)²

 

u'=0
v'=2(1+x)

 

h''(x)=(0-(3+√(2))2(1+x))/(1+x)⁴  | kürzen von 1+x
(-6-2√(2))/(1+x)³

In obiger Lösung hatte ich dann noch das Minus ausgeklammert.

Einverstanden? ;)