Isomorphismus der Umkehrabbildung beweisen

Question

Ich komme echt nicht weiter und weiß einfach nicht wie ich das beweisen soll:

Seien V und W zwei K-Vektorräume und sei f: V --> W ein Isomorphismus. Zeigen Sie, dass die Umkehrabbildung f^-1 : W --> V auch ein Isomorphismus ist.

Für den Isomorphismus gilt ja das die Abbildung f bijektiv sein muss, somit muss ja auch die Umkehrabbildung diese Eigenschaft erfüllen um ein Isomorphismus zu sein, aber ich weiß nicht wie ich das aufschreiben bzw. rechnen muss.

Answer 1

Isomorphismus gilt nur, wenn die Abbildung linear ist. Du musst also zwei Dinge zeigen:

1. f^-1 ist eine Bijektion.

2. f^-1 ist linear.

Zu 1.: Sollte beim betrachten der Definition trivial sein.

Zu 2.: Seien w₁,w₂ ∈W, dann gilt f ^-1 (w₁ + w₂ ) = f ^-1 (f(f ^-1 (w₁ )) + f(f ^-1 (w₂ )))

= f ^-1 (f(f ^-1 (w₁ ) + f ^-1 (w₂ ))) (wegen der Linearität von f)

= f ^-1 (w₁ ) + f ^-1 (w₂ ).

Analog dazu kann die skalare Multiplikation behandelt werden.