Trassierung, lineare Gleichungen widersprechen sich

Question

 Ich habe einen Graphen f mit der Funktion f(x) = -1/2 * (x-6)^2 + 6

und einen Graphen g mit der Funktion g(x) = -x

Zwischen den Punkten A(-4,4) der auf dem Graphen g liegt, und B(4,4) der auf dem Graphen f liegt, soll eine ganzrationale Funktion 4. Grades verlaufen. Der Übergang soll sprungfrei, knickfrei und krümmungsruckfrei sein. Man braucht also zusätzlich die 1. und 2. Ableitung der g.r.Funktion.

Soweit so gut. Ich habe alle Bedingungen aufgeschrieben und die linearen Gleichungen aufgeschrieben, aber 2 Gleichungen der 2. Ableitung haben verschiedenen x-Werte und y-Werte aber ihre Terme sind identisch. So kann ich das Gauss-Verfahren nicht anwenden und es muss ein Fehler vorliegen. Diesen erkenne ich aber nicht. Finden sie vielleicht den Fehler den ich gemacht habe?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: LGS mit 6 Unbekannten

Stichworte: steckbriefaufgabe,lgs,gauß

Ich habe große Schwierigkeiten das Lineare Gleichungssystem mit 6 Funktionen und 6 Unbekannten zu lösen! Ich habe es mit dem Gauss Verfahren probiert aber ohne Erfolg. Könnte einer es schriftlich berechnen, am besten mit dem Gauss Verfahren oder mir die einzelnen Schritte nennen? Es wäre sehr Hilfreich! Ich danke im Voraus

---

addiere I+II, III+IV, VI+VII, dann wird alles ganz einfach

---

Richtig wäre "im Voraus".

Abgesehen davon ist das Gauß-Verfahren schon richtig und sinnvoll, aber eben wegen seiner Vielschrittigkeit auch anfällig für gelegentliche Fehler. Das Verfahren bei einem derartigen Problem vorzurechnen, ist allerdings sinnlos, da dabei doch nur einer von vielen Wegen berücksichtigt wird und die Fehler, die du dabei machen würdest, gar nicht richtig gewürdigt werden.

Es gibt Varianten des Gauß-Verfahrens, bei denen jeder Schritt mit einem Prüfwert versehen wird, der zur Fehlerfindung nützlich ist. Eines wird hier beschrieben:
https://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsches_Eliminationsverfahren#Kontrolle_durch_Zeilensumme

Das vorgelegte Gleichungssystem erscheint allerdings etwas seltsam; wie lautet denn die ursprüngliche Aufgabe?

---

https://www.mathelounge.de/465743/trassierung-lineare-gleichungen-widersprechen-sich?

Answer 1

Ob das hilfreich ist?

EDIT: Antwort auf Fragestellung im Duplikat im 1. Kommentar.

Gaussalgorithmus: 1/256*A

$$ \begin{pmatrix}4 & 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{16} & \frac{1}{64} & \frac{1}{256} & \frac{1}{64}\cr -4 & 1 & -\frac{1}{4} & \frac{1}{16} & -\frac{1}{64} & \frac{1}{256} & \frac{1}{64}\cr 5 & 1 & \frac{3}{16} & \frac{1}{32} & \frac{1}{256} & 0 & -\frac{1}{128}\cr 5 & -1 & \frac{3}{16} & -\frac{1}{32} & \frac{1}{256} & 0 & -\frac{1}{256}\cr 5 & \frac{3}{4} & \frac{3}{32} & \frac{1}{128} & 0 & 0 & \frac{1}{256}\cr -5 & \frac{3}{4} & -\frac{3}{32} & \frac{1}{128} & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} $$

$$A[2]=4*A[2]+4*A[1]$$

$$A[3]=4*A[3]-5*A[1]$$

$$A[4]=4*A[4]-5*A[1]$$

$$A[5]=4*A[5]-5*A[1]$$

$$A[6]=4*A[6]+5*A[1]$$

$$\begin{pmatrix}4 & 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{16} & \frac{1}{64} & \frac{1}{256} & \frac{1}{64}\cr 0 & 8 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{32} & \frac{1}{8}\cr 0 & -1 & -\frac{1}{2} & -\frac{3}{16} & -\frac{1}{16} & -\frac{5}{256} & -\frac{7}{64}\cr 0 & -9 & -\frac{1}{2} & -\frac{7}{16} & -\frac{1}{16} & -\frac{5}{256} & -\frac{3}{32}\cr 0 & -2 & -\frac{7}{8} & -\frac{9}{32} & -\frac{5}{64} & -\frac{5}{256} & -\frac{1}{16}\cr 0 & 8 & \frac{7}{8} & \frac{11}{32} & \frac{5}{64} & \frac{5}{256} & \frac{5}{64}\end{pmatrix}$$

$$A[3]=8*A[3]+1*A[2]$$

$$A[4]=8*A[4]+9*A[2]$$

$$A[5]=8*A[5]+2*A[2]$$

$$A[6]=8*A[6]-8*A[2]$$

$$\begin{pmatrix}4 & 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{16} & \frac{1}{64} & \frac{1}{256} & \frac{1}{64}\cr 0 & 8 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{32} & \frac{1}{8}\cr 0 & 0 & -4 & -1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{8} & -\frac{3}{4}\cr 0 & 0 & -4 & 1 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{8} & \frac{3}{8}\cr 0 & 0 & -7 & -\frac{5}{4} & -\frac{5}{8} & -\frac{3}{32} & -\frac{1}{4}\cr 0 & 0 & 7 & -\frac{5}{4} & \frac{5}{8} & -\frac{3}{32} & -\frac{3}{8}\end{pmatrix}$$

$$A[4]=-4*A[4]+4*A[3]$$

$$A[5]=-4*A[5]+7*A[3]$$

$$A[6]=-4*A[6]-7*A[3]$$

$$\begin{pmatrix}4 & 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{16} & \frac{1}{64} & \frac{1}{256} & \frac{1}{64}\cr 0 & 8 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{32} & \frac{1}{8}\cr 0 & 0 & -4 & -1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{8} & -\frac{3}{4}\cr 0 & 0 & 0 & -8 & 0 & -1 & -\frac{9}{2}\cr 0 & 0 & 0 & -2 & -1 & -\frac{1}{2} & -\frac{17}{4}\cr 0 & 0 & 0 & 12 & 1 & \frac{5}{4} & \frac{27}{4}\end{pmatrix}$$

$$A[5]=-8*A[5]+2*A[4]$$

$$A[6]=-8*A[6]-12*A[4]$$

$$\begin{pmatrix}4 & 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{16} & \frac{1}{64} & \frac{1}{256} & \frac{1}{64}\cr 0 & 8 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{32} & \frac{1}{8}\cr 0 & 0 & -4 & -1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{8} & -\frac{3}{4}\cr 0 & 0 & 0 & -8 & 0 & -1 & -\frac{9}{2}\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 8 & 2 & 25\cr 0 & 0 & 0 & 0 & -8 & 2 & 0\end{pmatrix}$$

$$A[6]=8*A[6]+8*A[5]$$

$$A[6]=A[6]/A[6,6]$$

$$\begin{pmatrix}4 & 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{16} & \frac{1}{64} & \frac{1}{256} & \frac{1}{64}\cr 0 & 8 & 0 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{32} & \frac{1}{8}\cr 0 & 0 & -4 & -1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{8} & -\frac{3}{4}\cr 0 & 0 & 0 & -8 & 0 & -1 & -\frac{9}{2}\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 8 & 2 & 25\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{25}{4}\end{pmatrix}$$

Rücksubstitution...

$$A[1]=1/256*A[6]-1*A[1]$$

$$A[2]=1/32*A[6]-1*A[2]$$

$$A[3]=-1/8*A[6]-1*A[3]$$

$$A[4]=-1*A[6]-1*A[4]$$

$$A[5]=2*A[6]-1*A[5]$$

$$A[5]=A[5]/A[5,5]$$

$$\begin{pmatrix}-4 & -1 & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{16} & -\frac{1}{64} & 0 & \frac{9}{1024}\cr 0 & -8 & 0 & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{9}{128}\cr 0 & 0 & 4 & 1 & \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{32}\cr 0 & 0 & 0 & 8 & 0 & 0 & -\frac{7}{4}\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{25}{16}\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{25}{4}\end{pmatrix}$$

$$A[1]=-1/64*A[5]-1*A[1]$$

$$A[3]=1/2*A[5]-1*A[3]$$

$$A[4]=A[4]/A[4,4]$$

$$\begin{pmatrix}4 & 1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{16} & 0 & 0 & -\frac{17}{512}\cr 0 & -8 & 0 & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{9}{128}\cr 0 & 0 & -4 & -1 & 0 & 0 & \frac{13}{16}\cr 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -\frac{7}{32}\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{25}{16}\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{25}{4}\end{pmatrix}$$

$$A[1]=1/16*A[4]-1*A[1]$$

$$A[2]=-1/2*A[4]-1*A[2]$$

$$A[3]=-1*A[4]-1*A[3]$$

$$A[3]=A[3]/A[3,3]$$

$$\begin{pmatrix}-4 & -1 & -\frac{1}{4} & 0 & 0 & 0 & \frac{5}{256}\cr 0 & 8 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{5}{128}\cr 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -\frac{19}{128}\cr 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -\frac{7}{32}\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{25}{16}\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{25}{4}\end{pmatrix}$$

$$A[1]=-1/4*A[3]-1*A[1]$$

$$A[2]=A[2]/A[2,2]$$

$$\begin{pmatrix}4 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{9}{512}\cr 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{5}{1024}\cr 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -\frac{19}{128}\cr 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -\frac{7}{32}\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{25}{16}\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{25}{4}\end{pmatrix}$$

$$A[1]=1*A[2]-1*A[1]$$

$$A[1]=A[1]/A[1,1]$$

$$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{13}{4096}\cr 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{5}{1024}\cr 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -\frac{19}{128}\cr 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -\frac{7}{32}\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{25}{16}\cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{25}{4}\end{pmatrix} $$

Comments

Wow da hast du ganz schön Arbeit reingesteckt!

---

Hallo Gorgar,
ich habe meine Aussagen und die Ergebnisse
bei Brünner nochmals überprüft und bin wieder auf
die Funktion
h (x) = -7/4096·x⁵ - 7/1024·x⁴ + 9/128·x³ + 13/32·x² - 11/16·x - 3/4
gekommen.  Da ein Unterschied zu deinem Ergebnis
besteht : von welchen Aussagen bist du ausgegangen ?

---

Hallo Georg,

ich bin von den Gleichungen des Fragestellers ausgegangen, wobei ich aber seinen Rechenfehler nicht übernommen habe. Es ist nämlich f'(x) = 6 - x und nicht x - 6.

---

Hallo Georg noch einmal, habe meinen Fehler gefunden, danke. :-)

Answer 2

Du hast 6 Aussagen über die Verbindungsfunktion
h ( -4 ) = 4
h ' ( -4) = -1
h '' (-4) = 0
h  (4) = 4
h ' (4) =2
h '' ( 4 ) = -1
und erhältst somit eine Funktion 5.Grades
h (x) = -7/4096·x^5 - 7/1024·x^4 + 9/128·x^3 + 13/32·x^2 - 11/16·x - 3/4

Ist irgendwo ein Fehler ?

Hier der Graph

Comments

Wie konnten Sie die Unbekannten berechnen? Ich habe es mit dem Gauss Verfahrn versucht aber es klappt nicht.. könnten Sie es eventuell auf Papier schriftlich berechnen, oder die einzelenem Schritte sagen für die Berechnung der Unbekannten? Es wäre unglaublich Hilfreich!!

---

Schon einmal vorab. Ich habe einen Steckbrief-
rechner  genutzt.

Du  gehst nach
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

und gibst im Feld
" Eigenschaften eingeben "

f ( -4 ) = 4
f ' ( -4) = -1
f '' (-4) = 0
f  (4) = 4
f ' (4) =2
f '' ( 4 ) = -1

ein ( Die 6 obigen Zeilen kopieren und
dort einfügen )

und drückst die Schaltfläche " berechnen ".
Dann wird dir die Funktion berechnet.

Bei den Ableitungen mußt du das Zeichen "  '  "
auf der Taste rechts neben dem " Ä " verwenden. " f ' "

mfg Georg

---

Du bildest die ersten beiden Ableitungen von
h ( x ) = ax^5 + bx^4 + cx^3 +dx^2 + ex + f

Durch Einsetzung  der Aussagen erhätst du das
Gleichungssystem
-1024a + 256b - 64c + 16d - 4e + f = 4
1280a - 256b + 48c - 8d + e = -1
-1280a + 192b - 24c + 2d = 0
1024a + 256b + 64c + 16d + 4e + f = 4
1280a + 256b + 48c + 8d + e = 2
1280a + 192b + 24c + 2d = -1

Bei genug Konzentrationsfähigkeit dürfte dies
manuell lösbar sein.
Ich will mir das aber nicht mehr antun.

mfg Georg

Answer 3

Du hast bei der ersten Ableitung von f(x) ein minus vergessen.

Comments

Ich verstehe nicht wo genau bei der ersten Ableitung?

---

Die erste Ableitung ist 6-x und nicht x-6.

Du hast die Funktion f(x)=-1/2*(x-6)^2

Wenn du ableitest, bleibt die -1/2 erstmal als Faktor stehen. Der Rest abgeleitet gibt

2*(x-6). Wenn du das jetzt mit den Faktor zusammenbringst, erhältst du

f'(x)= -1/2*2*(x-6)= -(x-6)= -x+6 = 6-x