Wie bestimme ich b bei binomischen Formeln mit mehreren Gliedern? Beispiel x^4 + 8x^3 + 26x^2 + 40x + 25

Question

Dank ein paar Leuten und dem Forum hier, konnte ich das Grundprinzip dieser Problematik verstehen.

Bei so einem Fall :

x^4 + 8x^3 + 26x^2 + 40x + 25

ist ja

a = x^2

c = 5

b = ?

Dafür dann :

(x^2 + bx + 5)^2

ausmultiplizieren und vergleichen

b = 4

Jetzt ist aber hier bei folgende Aufgabe das Problem das ich folgendes habe :

(x^6 + 6x^2 + 6)^2 = x^12 + 12x^8 + 36x^4 + 72x^2 + 12x + 36

(x^6 + ? + 6)^2 = ?

hier stört mich die 6x^2, da ich schlecht in eine allgemeine Formel reinpacken kann.

Die Annahme ist auch das ich die Linke Lösung NICHT kenne und nur mit dem ausmultiplizieren arbeiten darf.

Was könnte ich in einem solchen Fall machen ?

Koeffizientenvergleich anzuwenden wäre schön.

Danke !

Answer 1

generell gilt: Faktorisierung von Polynomen höheren Grades kann man nicht nach Schema f lösen, es gibt kein allgemeines Verfahren was stets zu einer Lösung führt.In der Regel läuft es darauf hinaus die Faktorisierung zu erraten bzw. einen geeigneten Ansatz zu wählen. Meistens sind die Aufgaben auch dementsprechend gestellt.

Comments

Wie könnte ich diese Aufgabe jetzt lösen? Die habe ich übrigens erfunden um mehr Übung in Nullstellen Berechnung zu bekommen.

Danke !

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Wie wärs mit einer Polynomdivision? 1. Nullstelle raten! :)

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Eine Möglichkeit wäre es , die Terme geschickt zu sortieren und dann zu faktorisieren:

$$ x^{12} + 12x^8 + 12x^6+ 36x^4 + 72x^2  + 36\\=x^{12}+12x^8+6x^6+36x^4+36x^2+6x^6+36x^2+36\\=x^{12}+12x^8+6x^6+36x^4+36x^2+6(x^6+6x^2+6)\\=x^{12}+6x^8+6x^8+6x^6+36x^4+36x^2+6(x^6+6x^2+6)\\=(x^6+6x^2+6)(x^6+6x^2)+6(x^6+6x^2+6)\\=(x^6+6x^2+6)(x^6+6x^2+6)=(x^6+6x^2+6)^2 $$

Allerdings muss man das geschickte Sortieren auch frei nach Erfahrung bewerkstelligen ;)

Answer 2

Mit dem Ansatz

(x⁶ + ax² + b)² = x¹² + 12x⁸ + 36x⁴ + 72x² + 12x + 36

kommst du garantiert nicht hin; denn rechts steht ja z.B. 12x,

das kann beim Auflösen der Klammer aber nicht entstehen.

Comments

Mit welchen Werkzeugen müsste ich dann ran ?

Danke.

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Mit dem "Erfinden" ist das immer so eine Sache.

Dein erfundenes Polynom hat vermutlich keine Nullstellen,

siehe Plot.

~plot~ x^12+12x^8+36x^4+72x^2+12x+36 ;[[-10|10|0|1000]] ~plot~

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Aber, es muss eine Möglichkeit geben b zu bestimmen. Nullstellenraten geht schlecht ohne.

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Wenn es keine Nullstellen gibt, kannst du keine erraten.