Logarithmische Gleichung lösen: ln(3x+5)-ln(2x+1)=3-ln(x)

Question

Wie löst man folgende Gleichung?

ln(3x+5)-ln(2x+1)=3-ln(x)

Danke:D

Answer 1

Comments

Bei Divisionen durch x-Terme  und Anwenden von Logarithmensätzen ist der Definitionsbereich der Gleichung nicht ganz unwichtig. 

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@Wolfgang: Es ist durchaus üblich, dass man erst mal die Lösungen (inkl. Scheinlösungen) bestimmt. Zum Schluss muss man natürlich noch die Scheinlösungen streichen. Das macht man mit Hilfe einer Probe in der gegebenen Gleichung.

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@Lu

Es ist mir durchaus bekannt, dass das "üblich" ist. (Ich erinnere mich da an unser beider Diskussion zum Umgang mit den Konstanten bei DGL (vor langer Zeit :-) ) )

Ich denke, es ist - zumindest wenn es sich nicht um ÄU handelt - einfach eine Unsitte, Gleichungen einfach ohne Angabe von ( ⇔ , ⇒ ) umzuformen. Bei Äquivalenzumformungen mag das angehen.

Ansonsten ist es zumindest pädagogisch sehr bedenklich, vor allem beim Anwenden von Formeln, die in ihrem Gültigkeitsbereich eingeschränkt sind.

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"einfach ohne Angabe von ( ⇔ , ⇒ ) umzuformen. "

Es gibt an den entscheidenden Stellen nach dem       | einen Hinweis zur Umformung. Da weiss man am Schluss sofort, dass man noch testen muss. Auch bei ln und √ in der Ausgangsgleichung ist das klar. Wenn du es mit hinschreibst, ist das sauberer. nennen. https://de.wikipedia.org/wiki/%C3%84quivalenzumformung 

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> Da weiss man am Schluss sofort, dass man noch testen muss.

Diese Behauptung erscheint mir sehr gewagt :-)

Wer ist "man" ? 

In der Antwort, unter der wir gerade kommentieren, ist nirgendwo ein Hinweis, dass am Ende nach Anwendung der pq-Formel eine Probe notwendig ist.

Ein Fragesteller wird mit hoher Wahrscheinlichkeit beide Lösungen in die Lösungsmenge schreiben! Wo sollte er einen Anlass zu einer Nachfrage sehen?

Das ist auch in der Antwort von Roland so. Georgborn ist diesbzgl. eine löbliche Ausnahme.

Und so etwas wird man mit dem sachlichen Kommentar

Bei Divisionen durch x-Terme  und Anwenden von Logarithmensätzen ist der Definitionsbereich der Gleichung nicht ganz unwichtig.  

doch wohl anmerken dürfen, ohne dass das das Missfallen der Redaktion findet!

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" doch wohl anmerken dürfen, ohne dass das das Missfallen der Redaktion findet! "

Selbstverständlich! Ich hätte es gar nicht gelesen, wäre da nicht eine Bitte um Löschen eines Kommentars gewesen ;) 

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Hallo Wolfgang,

deiner Einschätzung

Ein Fragesteller wird mit hoher Wahrscheinlichkeit beide Lösungen in die Lösungsmenge schreiben! Wo sollte er einen Anlass zu einer Nachfrage sehen?

kann ich aufgrund der von mir gemachten
Erfahrungen nicht zustimmen.

Viele Fragesteller machen sich auch Gedanken
über die angebotenen Lösungswege und
Ergebnisse und fragen bei Unklarheiten auch
nach.
So ist es auch richtig.
Der Fragesteller sollte nach Beantwortung einer
Frage in der Lage sein eine ähnliche Frage
selbst zu lösen.

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Hallo Georg, 

deine Einschätzung halte ich für absolut unrealistisch :-)

[ Ein Link zu einer solchen "Erfahrung" würde mich interessieren! ]

Das Argument "Der Fragesteller wird es schon richten (z.B. nachfragen)" halte ich für ein Alibi für unsaubere Antworten.

Noch ein simples Beispiel:

ln(x) - ln(x) = 0

ln(x/x) = 0

ln(1) = 0

die letzte Gleichung ist allgemeingültig,  die Lösungsmenge ℝ⁺ = D

Die "Probe" wäre dann eine nachträgliche Bestimmung von D, die Umformung in Zeile 2 so allgemein überhaupt nicht zulässig.

Warum also nicht gleich durch Angabe von D für klare Verhältnisse sorgen?

Gruß Wolfgang

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Hallo Wolfgang,

was ich hier schreibe habe ich schon
tausendmal gesagt

ich beantworte Fragen nicht unbedingt direkt in
voller akademischen Strenge sondern eher auf
dem vermuteten Niveau des Fragestellers.

Dem Fragesteller fehlt es ja an den notwendigen
Kenntnissen seine Aufgabe zu lösen.
Meine Antwort zeigt einen möglichen Lösungsweg
und die richtigen Lösungen.

Alle Aspekte der Frage zu diskutieren
lag nicht in meiner Intention.
Der Fragesteller kann ja nachfragen.

Mit dieser Vorgehensweise bin ich und die
Fragesteller bisher gut zurechtgekommen.

mfg Georg

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Das sei dir unbenommen.

Trotzdem war mein Kommentar gerechtfertigt, weil ich hier - vor allem bei den beiden anderen Antworten! - erhebliche pädagogische Bedenken hatte. Und das ist mir unbenommen.

Und die Angabe des Definitionsbereichs einer Gleichung, die alle späteren Probleme einfach löst,  ist keine besondere "mathematische Strenge" :-)

Für mich gilt da der Grundsatz:

So einfach wie möglich, aber dabei so streng wie nötig :-)

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@Wolfgang: Wenn man immer nur mit vorher definierten Termen gerechnet hätte, hätten wir wohl heute noch keine negativen Zahlen, komplexe Zahlen und auch noch keine 0.

Selbstverständlich war bei der Einführung dieser Zahlen jeweils zu prüfen, dass man keine Widersprüche geschaffen hat.

Beim Auflösen von Gleichungen gilt dasselbe.

Answer 2

Hallo Pusteblume,

ln(3x+5) - ln(2x+1) = 3 - ln(x)         D = ] 0 ; ∞ [   (alle Terme im ln > 0 ) 

⇔  ln(3x+5) - ln(2x+1) = ln(e³) - ln(x)      , weil  ln(e^r) = r  

         Logarithmensatz  ln(a) - ln(b) = ln(a/b) :       (für a,b > 0) 

⇔_D  ln[ (3x+5) / (2x+1) ]  =  ln[ e³ / x ]   | e^...  , wegen  e^ln(A) = A   (für A>0)   

⇔_D  (3x+5) / (2x+1)  =  e³ / x   | * x     | * (2x+1) 

⇔_D   x *  (3x+5)  = e³ * (2x+1) 

⇔_D   3x² + (5-2e³) * x  - e³ = 0

ax² + bx + c = 0         ( oder durch 3 dividieren und pq-Formel )

abc-Formel:  a = 3  , b = 5-2e³ , c =  - e³ ≈ - 20,0855

x_1,2 = ( -b ± \(\sqrt[]{b^2-4ac}\) ) / (2a)

...

 x₁ ≈ 12.269  ∈ D  ;    x₂ ≈ - 0.5457 ∉ D   entfällt 

Gruß Wolfgang

Answer 3

ln(3x+5)-ln(2x+1)=3-ln(x)

ln(3x+5)-ln(2x+1)+lnx=3

ln((3x+5)·x/(2x+1))=3

(3x+5)·x/(2x+1)=e³

3x²+5x=2e³x+e³

Das ist eine quadratische Gleichung (e³≈20 ist eine Zahl).

Comments

Bei Divisionen durch x-Terme  und Anwenden von Logarithmensätzen ist der Definitionsbereich der Gleichung nicht ganz unwichtig.

Answer 4

ln(3x+5)-ln(2x+1)=3-ln(x)

Die " 3 " kann auch als ln (e^3 ) geschrieben
werden.

ln(3x+5)-ln(2x+1)=ln(e^3) -ln(x)
ln ( ( 3x + 5 ) / ( 2x + 1 ) ) = ln ( e^3 / x )
( 3x + 5 ) / ( 2x + 1 )  = e^3 / x
( 3x + 5 ) * x = e^3 * ( 2x + 1 )
3x^2 + 5x = 2*e^3x + e^3
x^2 + 5/3 * x - 2/3 *e^3 * x = e^3 / 3
x^2 + ( 5/3 - 2/3 * e^3 ) * x = e^3 / 3
x^2 - 11.72 * x = e^3 / 3
pq-Formel oder quadratische Ergänzung

x1 = 12.27
x2 = - 0.55

wegen
ln ( 2x + 1 )
ln ( 2 * -0.55 + 1 ) = ln ( -0.1 )
entfällt die Lösung x2.

Comments

Dankeschön für die Antwort:)

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Bei Divisionen durch x-Terme  und Anwenden von Logarithmensätzen ist der Definitionsbereich der Gleichung nicht ganz unwichtig.

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Hallo Wolfgang,
ich wollte es nicht ganz so kompliziert
machen.
Der Fragesteller kann ja noch nachfragen.

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Zur Beantwortung der Frage wurden folgende
Regeln verwendet

ln ( a )  => a > 0
ln ( a ) - ln ( b ) = ln ( a / b )
ln ( a ) = ln ( b )  => a = b
a = ln ( e^a )

Diese Regeln braucht man immer wieder.
Also merken. Bei Bedarf bitte nachfragen.