Logarithmische "ln" Funktion umstellen mit ln*sqrt(sin 2x + 2) = 0

Question

Hi, ich muss diesmal eine logarithmische "ln" Funktion umstellen, um das "X" zu erhalten.

In meiner Mitschrift steht, dass man folgendermaßen beginnen kann:

ln*√(sin 2x + 2) = 0 

√(sin 2x + 2) = 1

Meine Frage lautet, mit welcher Regel hier gearbeitet wurde? ln ist doch was mit e^x. Müsste nicht daher die Gleichung

e^{ln*√(sin 2x + 2)} = e^0 heißen? ..ich weiß, dass e^0 = 1 ist. Aber wie bekommt man das e auf der linken Seite weg?

Answer 1

Hallo Martin,

>  ln ist doch was mit e^x

Ja, die e-Funktion ist die Umkehrfunktion der ln-Funktion.

→    e^ln(A)  =  A    (für A>0, sonst ist der ln nicht definiert)

> ... e^{ln(√(sin(2x)+2))} = e⁰ heißen? ..ich weiß, dass e⁰ = 1 ist. Aber wie bekommt man das e auf der linken Seite weg? 

             (Die Korrekturen von Georg habe ich "eingebaut")

→    e^ln...   hebt sich also einfach auf.

→         √(sin(2x)+ 2) = 1

Gruß Wolfgang

Answer 2

ln*√(sin 2x + 2) = 0 

Das ist falsch.
Es muß heißen
ln ( √(sin 2x  + 2 ) ) = 0 

Dann könnte es heißen
ln ( √ ( sin (2x)  + 2 )) = 0 
oder
ln ( √ ( sin ( 2x  + 2 ) )) = 0 

Der ln von 1 ist 0 : ln ( 1 ) = 0
also und falls es heißt
ln ( √ ( sin (2x)  + 2 )) = 0 

√ (sin (2x) + 2) = 1 
sin (2x) + 2 = 1
sin (2x) = -1  | arcsin
2x = 3 * π / 2
x = 3 /4 * π

Comments

Jedes  x = 3/4 π + k * π   mit  k∈ℤ  

ist dann aber auch eine Lösung.

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Wer hätte das gedacht Wolfgang.

Da die Ausgangsfunktion noch gar nicht feststeht
wollte ich nicht zu weit vorgreifen.

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> Wer hätte das gedacht Wolfgang.

Ich offensichtlich.

Was soll dieser Spruch? Willst du mir damit irgendetwas sagen? Dann würde ich das an deiner Stelle einfach tun!

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Jedes  x = 3/4 π + k * π   mit  k∈ℤ  

ist dann aber auch eine Lösung.
Dieser von dir erwähnte Tatbestand ist mir
auch bekannt und bedarf nicht unbedingt
der Erwähnung.
Bezüglich der Beantwortung von Fragen
beantworte ich diese nicht immer in voller
akademischen Strenge, dies wäre mitunter
" Perlen vor die Säu geworfen "

Da noch nicht klar ist was die Ausgangsfunktion
überhaupt ist habe ich mir zunächst keine
weitere Arbeit machen wollen.
mfg Georg

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@Georgborn

> Dieser von dir erwähnte Tatbestand ist mir 

auch bekannt und bedarf nicht unbedingt 
der Erwähnung. 

Das  meinst du jetzt aber hoffentlich nicht ernst! 
Du weißt die korrekte Lösung, aber der Fragesteller muss sie nicht wissen? Und deshalb darf ich sie ihm nicht verraten?

Sorry alter Freund, aber anders kann ich deine Argumentation nicht interpretieren.

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Hi, um Missverständnisse beiseite zu räumen hier noch eine Info von mir.

Ich bin euch Beiden sehr sehr dankbar, dass ihr mir in der Vergangenheit wie auch jetzt immer weiterhelfen konntet. Wolfgang, georgborn und auch der Mathecouch haben mir, zu teilweisen unmenschlichen Zeiten ;-),  oft zum springenden Punkt verholfen. Ich versuche gleichzeitig in Zukunft meine Aufgaben etwas präziser zu stellen.

Bei dieser Aufgabe war der springende Punkt, dass e^x eine Umkehrfunktion von ln ist. Da konnte ich anschließend etwas Google zu rate ziehen und habe mein fehlendes Wissen beseitigen können. Auch der Hinweis, dass die gestellte Klausuraufgabe nicht ganz korrekt war weil die Klammer fehlten, helfen mir weiter, um zukünftige Fehler vermeiden zu können. Hier noch ein Bild von der Klausuraufgabe. 

Wie gesagt, die Lösung habe ich jetzt kapiert und ich wollte mich hiermit nochmal außerordentlich für euer Engagement und Hilfe bedanken.

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Gern geschehen.
Falls du weitere Fragen hast dann wieder
einstellen.

Answer 3

$$ \ln\left(\sqrt{\sin\left(2x\right) + 2}\right) = 0 $$lässt sich mit der Umformung

$$ \ln\left(\sqrt{\sin\left(2x\right) + 2}\right) = \ln\left(\sqrt{1}\right) $$bereits durch delogarithmieren und deradizieren lösen, wenn man weiß, dass der Logarithmus und die Quadratwurzel umkehrbar sind. Die konkreten Umkehrfunktionen muss man dazu gar nicht kennen. Man erhält:

$$ \sin\left(2x\right) + 2 = 1 $$...