Matrixgleichung B^-1 * X * A = X^-1 * B^T * X. Det(X) =?

Question

generell fällt mir das auflösen von Matrizengleichungen nicht schwer, mit dieser komme ich aber nicht zurecht.

B^-1 * X * A = X^-1 * B^T * X

Ich hoffe mir kann jemand helfen.

EDIT: Vollständige Fragestellung im Kommentar! Ursprüngliche Überschrift "Matrixgleichung nach X auflösen. "

Comments

Gibt es irgendwelche Informationen über die beteiligten Matrizen,

sind sie vielleicht orthogonal oder sowas ?

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Gegeben ist, dass det(A) sowie det(B) != 0 sind, also Inverse haben

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Hier sonst nochmal die genaue Aufgabenstellung!

Answer 1

Es soll die Determinante von X bestimmt und nicht nach X aufgelöst werden!

Comments

Aber dafür müsste man doch die Gleichung nach X Auflösen oder nicht ?

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Nein, muss man nicht. Wende \(\det()\) auf beide Seiten der Gleichung an und benutze die Rechenregeln für Determinanten zusammen mit den Vorgaben.

Answer 2

Nein, dazu musst du die Gleichung nicht nach \(X\) auflösen. Bedenke einfach, dass identische Matrizen dieselbe Determinante besitzen und die Folgenden Eigenschaften gelten:

$$ det({ A }^{ t })=det(A)\\ det({ A }^{ -1 })={ det(A) }^{ -1 }$$

(natürlich nur sofern die Inverse der Matrix existiert und die Determinante eine Einheit im zugrundeliegenden Ring darstellt.)

Für invertierbare Matrizen gilt außerdem:

$$det(A*B)=det(A)*det(B)$$

Gruß

Answer 3

$$ B^{-1}XA=X^{-1}B^TX\\det(B^{-1}XA)=det(X^{-1}B^TX)\\\frac { 1 }{ det(B) }det(X)det(A)=\frac { 1 }{ det(X) }det(B)det(X)\\\frac { 1 }{ det(B) }det(A)=\frac { 1 }{ det(X) }det(B)\\det(X)=\frac { det(B^2) }{ det(A) } $$

Answer 4

Zur vollständigen Lösung gehört dann aber wohl noch:

nach der Vorgabe der Aufgabe

det(X) = b² / a