Exponentialgleichung lösen: 2e(hoch 2x) - 3e (hoch 0) =0

Question

Brauche hilfe dies zu lösen :

2e(hoch 2x) - 3e (hoch 0) =0

&

0,5e (hoch -x) - 5e(hoch x) =0

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Exponentialfunktion ausklammern neu

Stichworte: exponentialfunktion,ausklammern

Habe gerade falsch reingeschrieben

Muss diese beiden lösen:

2e(hoch2x) - 3e (hoch x) =0

&

0,5e (hoch -x) - 5e(hoch×) =0

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Mit unseren Antworten (insbesondere zur 2) sollte das jetzt kein Problem mehr sein.

Answer 1

\(2e^{2x}-3e^0=0\mid \) \(e^0=1\), beidseitige Addition von \(3\)

\(\Longleftrightarrow 2e^{2x}=3\mid \) beidseitige Division durch \(2\)

\(\Longleftrightarrow e^{2x}=\dfrac{3}{2}\mid \) natürlich logarithmieren

\(\Longleftrightarrow 2x=\ln{\left(\dfrac{3}{2}\right)}\mid \) beidseitige Division durch \(2\)

\(\Longleftrightarrow x=\dfrac{\ln{\left(\dfrac{3}{2}\right)}}{2}\)

Für die andere Gleichung gilt:

\(0.5e^{-x}-5e^{x}=0\mid \) beidseitige Addition von \(5e^x\)

\(\Longleftrightarrow 0.5e^{-x}=5e^{x}\mid \) beidseitige Multiplikation mit \(2\)

\(\Longleftrightarrow e^{-x}=10e^{x}\mid \) beidseitige Multiplikation mit \(e^x\)

\(\Longleftrightarrow e^{-x}\cdot e^x=10e^{x}\cdot e^x\mid \) Potenzgesetze anwenden

\(\Longleftrightarrow e^{-x+x}=10e^{x+x}\mid \) zusammenfassen

\(\Longleftrightarrow 1=10e^{2x}\mid \) beidseitige Division durch \(10\)

\(\Longleftrightarrow 0.1=e^{2x}\mid \) natürlich Logarithmieren

\(\Longleftrightarrow \ln{(0.1)}=2x\mid \) beidseitige Division durch \(2\)

\(\Longleftrightarrow \dfrac{\ln{(0.1)}}{2}=x\mid \)

André

Comments

Die obere Gleichung habe ich falsch aufgeschrieben sie heißt : 2e(hoch 2x)-3e(hochx) =0

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In diesem Fall gehst Du wie bei der zweiten Gleichung vor.

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Kannst du das nochmal schreiben ausführlich bitte

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In Ordnung. Also:

\(2e^{2x}-3e^x=0\mid \) beidseitige Addition von \(3e^x\)

\(\Longleftrightarrow 2e^{2x}=3e^x\mid \) beidseitige Division durch \(e^x\)

\(\Longleftrightarrow 2\dfrac{e^{2x}}{e^x}=3\mid \) Anwenden der Potenzgesetze, beidseitige Division durch \(2\)

\(\Longleftrightarrow e^{2x-x}=1.5\mid \) Zusammenfassen

\(\Longleftrightarrow e^{x}=1.5\mid \) natürlich Logarithmieren

\(\Longleftrightarrow x =\ln{(1.5)}\mid \)

Hilft Dir das beim Verständnis?

André

Answer 2

Es gilt dass e⁰=1. Wir lösen nach der Exponentialfunktion auf und logarithmieren dann die Gleichung. Wir bekommen also folgendes: $$2e^{2x}-3e^{0}=0 \Rightarrow 2e^{2x}-3\cdot 1=0 \Rightarrow 2e^{2x}=3 \\ \Rightarrow e^{2x}=\frac{3}{2} \Rightarrow \ln e^{2x}=\ln \left(\frac{3}{2}\right) \\ \Rightarrow  2x=\ln \left(\frac{3}{2}\right) \\ \Rightarrow x=\frac{1}{2}\cdot \ln \left(\frac{3}{2}\right)$$

Wir multiplizieren die zweite Gleichung mit e^x und bekommen dann folgendes: $$0,5e^{-x}-5e^x=0 \Rightarrow 0,5e^{-x}\cdot e^x-5e^x\cdot e^x=0\cdot e^x \\ \Rightarrow 0,5e^{-x+x}-5e^{x+x}=0 \Rightarrow 0,5e^0-5e^{2x}=0 \\ \Rightarrow 0,5\cdot 1-5e^{2x}=0\Rightarrow 5e^{2x}=0,5 \\ \Rightarrow e^{2x}=\frac{0,5}{5} \Rightarrow e^{2x}=\frac{1}{10} \\ \Rightarrow \ln e^{2x}=\ln \left(\frac{1}{10}\right) \Rightarrow 2x=\ln (1)-\ln (10) \\ \Rightarrow 2x=-\ln (10) \\ \Rightarrow x=-\frac{\ln(10)}{2}$$

Answer 3

2e^{2x}-3e^0=0

2e^{2x}-3=0

2e^{2x}=3

e^{2x}=3/2

2x=LN(3/2)

x=1/2 *ln(3/2)

Comments

Korrigierte Fassung:

2e^2x-3e^x=0

2e^{x}-3=0

2e^{x}=3

e^{x}=3/2

x=LN(3/2)

Answer 4

Comments

das heißt: Satz vom Nullprodukt

Answer 5

a) e^x(2e^x-3)= 0

2e^x-3= 0

...

b)

0,5e^{-x}*(1-10e^{2x})=0

1-10*e^{2x}=0

10*e^{2x}=1

...

Answer 6

Wir multiplizeren die Gleichung mit e^-x und bekommen also folgendes: $$2e^{2x}-3e^x=0 \Rightarrow 2e^{2x}\cdot e^{-x}-3e^x\cdot e^{-x}=0\cdot e^{-x} \\ \Rightarrow 2e^{2x-x}-3e^{x-x}=0 \Rightarrow 2e^{x}-3e^{0}=0 \\ \Rightarrow 2e^x-3=0 \Rightarrow 2e^x=3 \\ \Rightarrow e^x=\frac{3}{2} \Rightarrow \ln e^x=\ln \left(\frac{3}{2}\right) \\ \Rightarrow x=\ln \left(\frac{3}{2}\right) $$

Wir multiplizieren die zweite Gleichung mit e^x und bekommen dann folgendes: $$0,5e^{-x}-5e^x=0 \Rightarrow 0,5e^{-x}\cdot e^x-5e^x\cdot e^x=0\cdot e^x \\ \Rightarrow 0,5e^{-x+x}-5e^{x+x}=0 \Rightarrow 0,5e^0-5e^{2x}=0 \\ \Rightarrow 0,5\cdot 1-5e^{2x}=0\Rightarrow 5e^{2x}=0,5 \\ \Rightarrow e^{2x}=\frac{0,5}{5} \Rightarrow e^{2x}=\frac{1}{10} \\ \Rightarrow \ln e^{2x}=\ln \left(\frac{1}{10}\right) \Rightarrow 2x=\ln (1)-\ln (10) \\ \Rightarrow 2x=-\ln (10) \\ \Rightarrow x=-\frac{\ln(10)}{2}$$