Vereinfachung einer Ableitung. 48 ( 4e-2x(2e-x + 3) - e-x(2e-x + 3)2) / (2e-x + 3)4

Question

Ich finde Ableitungen eigentlich einfach nur bei der Vereinfachung habe ich am Ende oft Schwierigkeiten. Kann jemand mir diese erklären? Oder die einzelne schritte sagen?

48 ( 4e^-2x(2e^-x + 3) - e^-x(2e^-x + 3)²) / (2e^-x + 3)⁴

Answer 1

1.) (2 e^-x +3)  im Zähler ausklammern

2.) Kürzen von (2 e^-x +3)

3.) umschreiben  , allg gilt: (A-B)/C= A/C-B/C

4.) Zusammenfassen

5.) 48 e^x ausklammern

Answer 2

$$\frac{48\cdot (4{e}^{-2x}\cdot (2{e}^{-x}+3)-{e}^{-x}\cdot {(2{e}^{-x}+3})^{2})}{{(2{e}^{-x}+3)}^{4}}\\$$

$$\frac{48\cdot 4{e}^{-2x}\cdot (2{e}^{-x}+3)}{{(2{e}^{-x}+3)}^{4}}-\frac{48\cdot{e}^{-x}\cdot({{2e}^{-x}+3)}^{2}}{{({2e}^{-x}+3)}^{4}}\\\frac{192{e}^{-2x}}{{({2e}^{-x}+3)}^{3}}-\frac{48{e}^{-x}}{{({2e}^{-x}+3)}^{2}}$$

Ich hoffe das hilft weiter. Smitty

Answer 3

Mein Vorschlag immer alles auf einem Bruchstrich behalten:

(48 ( 4e^-2x(2e^-x + 3) - e^-x(2e^-x + 3)²)) / (2e^-x + 3)⁴

=( 48(2e^-x + 3) * ( 4e^-2x - e^-x(2e^-x + 3)) / (2e^-x + 3)⁴

=( 48 ( 4e^-2x - e^-x(2e^-x + 3)) / (2e^-x + 3)³

=( 48 ( 4e^-2x - 2e^-xe^-x - 3e^-x)) / (2e^-x + 3)³

=( 48 ( 4e^-2x - 2e^-2x - 3e^-x)) / (2e^-x + 3)³

=( 48 ( 2e^-2x - 3e^-x)) / (2e^-x + 3)³    | erweitern mit e^3x . [ unten  in der Klammer *e^x ]

= (48 (2e^x - 3e^2x)/(2 + 3ex)³     | oben e^x ausklammern

= (48 e^x (2 - 3ex)/(2 + 3e^x)³

Die haben noch ein Minus vor dem Bruchstrich, weil sie in der Klammer die Reihenfolge geändert haben. Das ist aber eher überflüssig.