Wenn die Verteilungsfunktion gesucht ist fängst du erstmal mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion (bzw. Dichtefunktion, wenn es eine stetige Zufallsvarialbe ist) an.
Allerdings irritieren mich zwei Angaben aus der Aufgabe: Sicher das die kleinste Flasche 3,3ml fasst? Ich gehe jetzt mal davon aus, dass die üblichen 330ml gemeint sind. Auf die Lösbarkeit hat dies natürlich keine Auswirkung.
Außerdem finde ich die Definiton der Zufallsvariablen sehr merkwürdig: Herstellkosten je befüllter Einwegflasche? Das hört sich nach einem Durchschnitt an und würde wenig Sinn für eine Zufallsvariable machen, es sei denn man soll die angegeben Befragung irgendwie dazu benutzten, mittels irgendwelcher statistischen Analysen die Wahrscheinlichkeiten für Abweichungen von diesen Einkäufen zu ermitteln... ich hätte allerdings keine Idee, wie sowas gehen sollte und die Umfrage ist auch wenig repräsentativ. Daher gehe ich davon aus, das gemeint war (ich übernehme aber keine Garantie):
\(X\text{: Herstellungskosten einer befüllten Einwegflasche (zufällig ausgewählt aus den 150 gekauften)}\)
Also zunächst ausrechnen, was jede einzelne Flasche kostet, die Wahrscheinlichkeit ausrechnen, dass eine zufällige Flasche diese Größe hat, und die Wahrscheinlichkeitsfunktion aufstellen:
$$f_X(x)=\begin{cases}\frac{2}{25}\quad &\text{für }x=12,9\\\frac{1}{6}\quad &\text{für }x=18\\\frac{34}{75}\quad &\text{für }x=33\\\ldots\\0 \quad &\text{sonst}\end{cases}$$
Die Verteilungsfunktion hat ja dann einfach nur den Wert der Wahrscheinlichkeit, dass x (der Preis) kleinergleich einer bestimmten Grenze ist:
$$F_X(x)=\begin{cases}0\quad &\text{für }x<12,9\\\frac{2}{25}\quad &\text{für }12,9\le x<18\\\frac{37}{150}\quad &\text{für }18\le x<33\\\frac{7}{10}\quad &\text{für }33\le x<40,5\\\ldots\\1 \quad &\text{sonst}\end{cases}$$
http://www.mathebibel.de/wahrscheinlichkeitsverteilung erklärt ganz gut die benötigten Begriffe.
